不等式への招待第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

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708(2): 2017/08/27(日)16:26 ID:NetfQ0ow(7/8) AAS
>>388 (5) >>450

〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
　K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,

ここに K(r）は
　1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
　2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),

　kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2

>>449 (2)
　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
省7

709(1): 2017/08/27(日)20:32 ID:u/VQjdir(1) AAS
>>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)

この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？

710: 2017/08/27(日)23:16 ID:NetfQ0ow(8/8) AAS
>>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？

711: 2017/08/28(月)00:00 ID:4VsD2YTN(1/3) AAS
>>708
　解答も訂正。

>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
　a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
　(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。

712(1): 2017/08/28(月)01:54 ID:4VsD2YTN(2/3) AAS
>>679 (5)

a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),

(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0,　　　（s=x+y+z≧3)

713(3): 2017/08/28(月)03:43 ID:Xt3/xWpv(1/5) AAS
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2

AOPS：外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

[疑問１]
(1)の証明について、

(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)

>>687 〔補題196〕の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
省12

714(1): 2017/08/28(月)06:21 ID:Xt3/xWpv(2/5) AAS
>>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？

715(1): 2017/08/28(月)06:30 ID:Xt3/xWpv(3/5) AAS
>>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
省5

716: 2017/08/28(月)06:52 ID:Xt3/xWpv(4/5) AAS
AA省

717: 2017/08/28(月)11:53 ID:4VsD2YTN(3/3) AAS
>>712 の訂正
× (x-y-z)
○　(x+y+z)

>>713

[疑問1]
　(1）は >>679 (2）ですね。
　>>687 を参照。
　あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。

[疑問2]
　>>687 を参照。
省3

718(1): 2017/08/28(月)21:24 ID:fpou6rxt(1) AAS
>>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然

[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件

(2)
因数分解が一番簡単

[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
省1

719(1): 2017/08/28(月)22:03 ID:Xt3/xWpv(5/5) AAS
>>718
なんと！因数分解できるとは…

(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2

UVW-method って、これのことですか？
外部ﾘﾝｸ:brilliant.org

720: 2017/08/28(月)22:42 ID:sqcQ/xXt(1) AAS
>>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど

721(4): 2017/08/29(火)01:52 ID:QmBHjFut(1/10) AAS
a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}.

722(1): 2017/08/29(火)03:10 ID:QmBHjFut(2/10) AAS
AA省

723: 2017/08/29(火)03:22 ID:QmBHjFut(3/10) AAS
a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。（曲者 = a/b + b/c + c/a）

(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0

∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t

これしか思いつきませぬ…。他にないでござるかな？

724(3): 2017/08/29(火)03:49 ID:1JAWO9sa(1/3) AAS
AA省

725: 2017/08/29(火)04:41 ID:QmBHjFut(4/10) AAS
>>721、>>724
出典を再発見。（大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる）
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com

斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`)

>>724
分かりやすい！
でも、この方法では等号がつかないですね。

726(3): 2017/08/29(火)05:25 ID:QmBHjFut(5/10) AAS
>>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。

正しくは、「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」でした。

727(3): 2017/08/29(火)05:44 ID:QmBHjFut(6/10) AAS
>>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}

>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。

A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3)　　　　…(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3)　　　　…(2)
= 3G/{4^(1/3)}

(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
省2

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