[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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688(2): 2017/08/24(木)03:22 ID:rYRHhAcs(1) AAS
>>687
> 〔補題196〕
> (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
省6
689(3): 2017/08/24(木)10:30 ID:9N+3FV4m(3/3) AAS
>>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
省7
690(5): 2017/08/25(金)00:31 ID:oetrvUQn(1/3) AAS
>>677 (3)
st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
省6
691(1): 2017/08/25(金)01:15 ID:3FtU8w0T(1/2) AAS
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか
692: 2017/08/25(金)01:21 ID:3FtU8w0T(2/2) AAS
>>691
二個目の不等式成り立たないや
693: 2017/08/25(金)04:26 ID:Yhp4f37o(1/2) AAS
>>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
省4
694(2): 2017/08/25(金)17:27 ID:oetrvUQn(2/3) AAS
>>677 (3) が成立つとする。
2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
t ≧（5s-6)/s,
または
st + 6 ≧ 5s >>679（1)
省1
695(2): 2017/08/25(金)19:30 ID:Yhp4f37o(2/2) AAS
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2
696: 2017/08/25(金)22:34 ID:oetrvUQn(3/3) AAS
>>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ
697(1): 2017/08/26(土)01:33 ID:MEky4IFO(1/2) AAS
[疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし…
698(2): 2017/08/26(土)02:00 ID:a5WQhO5r(1/3) AAS
>>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。
699: 2017/08/26(土)02:32 ID:MEky4IFO(2/2) AAS
>>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから （結果を知らずに） 次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
700(1): 2017/08/26(土)15:31 ID:a5WQhO5r(2/3) AAS
>>698
3Ｆ_2 = 2(x+y+z)Ｆ_1 +｛(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}Ｆ_0,
を使うと
Ｆ_3 =（xx+yy+zz)Ｆ_1 - 2xyzＦ_0
となるが、その後が…
700げとー
701: 2017/08/26(土)16:54 ID:a5WQhO5r(3/3) AAS
>>700
P=p(z-y), Q=q(x-z), R=ｒ(y-x), p+q+r=0 のとき
P(x-y)(x-z）+ Q(y-z)(y-x）+ R(z-x)(z-y)
=（p+q+r)⊿
= 0,
ここに⊿=（x-y)(y-z)(z-x),
例 p=z-y，q=x-z，r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr.
702(1): 2017/08/27(日)00:28 ID:NetfQ0ow(1/8) AAS
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9u）= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),
省6
703(2): 2017/08/27(日)00:47 ID:NetfQ0ow(2/8) AAS
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9uu）= ｔ(t-3)^3 +3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),
省6
704(4): 2017/08/27(日)01:08 ID:NetfQ0ow(3/8) AAS
>>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
省5
705: 2017/08/27(日)02:24 ID:NetfQ0ow(4/8) AAS
>>702 は大間違いです。
706(3): 2017/08/27(日)10:23 ID:NetfQ0ow(5/8) AAS
>>703 >>704
t^3 -4stu +9uu = u^3･F_1(1/x,1/y,1/z）= uu･F_{-2}(x,y,z)
=｛(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}
≧0
を使いますた。
707(1): 2017/08/27(日)16:11 ID:NetfQ0ow(6/8) AAS
>>677
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.86
u=1 のときは（s,t）を入れ換えても成り立つ。（duality)
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