[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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679(11): 2017/08/22(火)18:56 ID:fGEhoquB(6/8) AAS
AA省
681(1): 2017/08/22(火)21:17 ID:fGEhoquB(8/8) AAS
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…
684: 2017/08/23(水)22:42 ID:6dHoZEIo(1/2) AAS
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか
687(3): 2017/08/24(木)01:23 ID:9N+3FV4m(2/3) AAS
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
≧ 27(aa+bb+cc)tt
≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）
省4
690(5): 2017/08/25(金)00:31 ID:oetrvUQn(1/3) AAS
>>677 (3)
st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
省6
691(1): 2017/08/25(金)01:15 ID:3FtU8w0T(1/2) AAS
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか
694(2): 2017/08/25(金)17:27 ID:oetrvUQn(2/3) AAS
>>677 (3) が成立つとする。
2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
t ≧（5s-6)/s,
または
st + 6 ≧ 5s >>679（1)
省1
704(4): 2017/08/27(日)01:08 ID:NetfQ0ow(3/8) AAS
>>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
省5
712(1): 2017/08/28(月)01:54 ID:4VsD2YTN(2/3) AAS
>>679 (5)
a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),
(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0, （s=x+y+z≧3)
717: 2017/08/28(月)11:53 ID:4VsD2YTN(3/3) AAS
>>712 の訂正
× (x-y-z)
○ (x+y+z)
>>713
[疑問1]
(1）は >>679 (2）ですね。
>>687 を参照。
あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。
[疑問2]
>>687 を参照。
省3
729(1): 2017/08/29(火)09:27 ID:QmBHjFut(8/10) AAS
>>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。
744(2): 2017/08/31(木)00:00 ID:iQe17wVf(1/7) AAS
>>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2
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