[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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72(4): 2017/07/13(木)10:54 ID:aYclV8OY(9/9) AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu

a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.

A.422、B3987 にも不等式があるね。

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73(1): 2017/07/13(木)17:42 ID:oVTfqBd/(4/6) AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,

>>72

B.3987
　中の b+c に注目する。
　（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
　≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
省8

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75: 2017/07/13(木)18:37 ID:oVTfqBd/(6/6) AAS
>>72

A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
　　= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
　　≦ n (SS - SS/n)}
　　= (n-1) SS,

(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
省2

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76(2): 2017/07/14(金)01:59 ID:54s0BI7v(1/6) AAS
>>72

A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
　　≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]}　(チェビシェフ)
　　= S・(n-1)S
でもいいか...

〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
省7

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77(6): 2017/07/14(金)02:41 ID:5qutPAyo(1) AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…

以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3

(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
省7

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