現代数学の系譜古典ガロア理論を読む38 [無断転載禁止]©2ch.net

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351(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:45 ID:yKZ7rRZ6(6/36) AAS
>>343
￥さん、どうも。スレ主です。安否確認の“ノロシ”ありがとうございます。（＾＾
ID:BjC0xyI+さんの書き込み：” 情報が有るのと無いのとで確率は変化し試行を繰り返すことで確率は得られないという例です
この「パラドックス」では自然数全体に対してある種の確率を考えるというアクロバティックなことを旨く隠蔽していると言えるでしょうね”（>>297）
これは、ベイズ推定の視点でしょうかね〜？　
私は、ベイズ推定には詳しくないので、ここはちょっと勉強してみますよ（＾＾

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ベイズ確率（ベイズかくりつ）とは、ベイズ主義による「確率」の考え方（およびその値）を指す。
これら（およびベイズ統計学やベイズ推定）の「ベイズ（的）」の名は、元々はトーマス・ベイズおよび彼が示したベイズの定理に由来する。
省2

352: 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:46 ID:yKZ7rRZ6(7/36) AAS
>>351 つづき

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ベイズ推定（ベイズすいてい、英: Bayesian inference）とは、ベイズ確率の考え方に基づき、観測事象（観測された事実）から、推定したい事柄（それの起因である原因事象）を、確率的な意味で推論することを指す。

従来の推計統計学は既に確固たる数学的理論として構築され、多方面に応用されている。しかしながら母数 a を定数と仮定した上で造り上げられた理論であることから、必ずしも応用に向いたものではない（例えば母集団を決定しにくい医学への応用など）という批判がされる。
一方で、ベイズ推定は人間の思考の過程をモデル化したものとも考えられ、人間の思考様式になじむとも主張されている。
ベイズ推定に対する批判としては、事前確率が主観的で一意的に決められない、またそれをもとにして事後確率を求めても、それが客観的な確率分布に収束するという保証がない、といったものがある。
しかし現在では特にコンピュータを用いた方法の発展によりベイズ推定の方法も発展し、スパムメールを識別するためのベイジアンフィルタなどの応用が進んでいる。
事前分布としては全く情報がない場合には一様分布などが用いられ（もちろん情報があれば他の分布でよい）、一般には異なる事前確率分布からマルコフ連鎖モンテカルロ法などで安定した結果（事後確率分布）が得られれば、実用的に問題はないと考えられている。
(引用終り)

353: 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:48 ID:yKZ7rRZ6(8/36) AAS
元の証明ステップに戻ろう。
繰返すが、ID:BjC0xyI+さん（>>298）が、レベルの高い議論を書いてくれて、ハイレベルの議論の余韻が残っているうちに、証明ステップを一気に書いてしまおうと思う。（＾＾
いま、やろうとしていることは、
＜ステップ５＞ZFC下の現代確率論から時枝記事の解法の反例が導ける、そして、
＜ステップ６＞なぜ時枝記事の解法が錯覚を起こさせるのか、
だ

354(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:49 ID:yKZ7rRZ6(9/36) AAS
この話は、過去スレ36 2chｽﾚ:math
427 自分：現代数学の系譜古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/25
から始まっている。

つづく

355(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:50 ID:yKZ7rRZ6(10/36) AAS
>>354 つづき

過去＜ステップ２＞まで進んだが、その概要を振り返っておこう

＜ステップ１＞「現代確率論は、ベースとしてZFC下にある」
１）ZFCベースとして、下記フォン・ノイマン宇宙を考えて貰えば良い
（過去スレ36 2chｽﾚ:math ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
(引用終り)
省9

356(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:52 ID:yKZ7rRZ6(11/36) AAS
>>355 つづき

２）繰返すがSolovey Modelの宇宙をいう人がいるが、そこに住んで数学を展開する人は殆ど居ない。（＾＾
高木先生、小平先生、荒木不二洋先生（下記）その大勢の日本の大数学者、コンヌ先生他諸外国の数学者しかりだ。
フォン・ノイマン宇宙は、集合論の数学を展開するのに適した、豊かな構造を持っている。（下記）
その中に現代確率論があり、非可測集合も同時に存在する。
が、数学者たちは、それを面白がりこそすれ、大きな欠点とは思っていないのだよ。

（引用）
過去スレ37 2chｽﾚ:math
654 自分返信：現代数学の系譜古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/08/11
(抜粋)
省17

357(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:53 ID:yKZ7rRZ6(12/36) AAS
>>356 つづき

＜ステップ２＞「現代数学 ZFC下で、一見異なる結論が導かれることがある」(反例になる場合もある)
１）再度、＜ステップ２＞を掲載しておこう
過去スレ36 2chｽﾚ:math
(抜粋)
458 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 20170726
＜ステップ２＞「現代数学 ZFC下で、一見異なる結論が導かれることがある」
例えば、下記公式 ”1+2+3+4+・・・ =?1/12”（これ、黒川信重先生が、あちこちで紹介しているね（参考黒川信重外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org ））
なにが言いたいかと言えば、「級数 1+2+3+4+・・・は、発散する」。だが、「”=?1/12”という解釈も可能」だと
しかし、 ”1+2+3+4+・・・ =?1/12”の成り立つ背景には、ゼータ関数の解析接続だとか、なんだとか、それなりに理屈があるんだよな（理屈がなければ数学じゃない（＾＾）
省1

358(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:55 ID:yKZ7rRZ6(13/36) AAS
>>357 つづき

「級数 1+2+3+4+・・・は、発散する」というのは、数学的に覆しようがない事実だ。その証明に選択公理が必要とは思わない。が、明らかにZFCとも矛盾しない
”1+2+3+4+・・・ =-1/12”のゼータ関数の解析接続による証明に、選択公理が必要かどうか知らない。が、明らかにZFCとも矛盾しない

これと、同じように、時枝記事の解法とは別に、現代確率論内でも、しっかり”独立な確率変数の無限族”を扱えるのだから（例えば、下記「確率論メモ　数理ファイナンスの世界にようこそ」など）、そっちをしっかり見ておく必要があるよと
そして、上記のような「一見異なる結論（計算結果）が導かれる」とき、それを数学としてしっかり考えないといけない。しっかり考えると言っても、疑うべきは、まずは”時枝記事”の方だな（＾＾
「一見異なる結論が導かれる」とき、公式 ”1+2+3+4+・・・ =-1/12”のように両立するときは少ないだろう。もちろん、両者成立の可能性はゼロではないがね（＜類似例＞発散級数）（＾＾

外部ﾘﾝｸ[html]:mathfin.web.fc2.com 確率論メモ　目次 ※※※　数理ファイナンスの世界にようこそ　※※※
外部ﾘﾝｸ[html]:mathfin.web.fc2.com 標本空間２　※※※　数理ファイナンスの世界にようこそ　※※※

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
1+2+3+4+・・・ =-1/12
省2

359(1): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)22:57 ID:yKZ7rRZ6(14/36) AAS
>>358 つづき

２）いま、振り返って思うと、時枝記事の解法（確率99/100）とは、異なる現代確率論から導かれる結論（当てられない）は、反例になっているように思う。
時枝記事の解法派の唯一の逃げ込み先は、「フルパワーの選択公理を使ったから」ということだろうが、それ、成り立たないような気がしてきたね〜（＾＾

つづく

360(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:01 ID:yKZ7rRZ6(15/36) AAS
>>359 つづき
＜ステップ３＞（「無限を考える基本は有限からの極限」＆「現代確率論の無限族の独立の定義」）
（＜ステップ３＞は、下記のように、＜ステップ３−１＞と＜ステップ３−２＞の二つに分ける）
＜ステップ３−１＞（「無限を考える基本は有限からの極限」）
１）皆さんには、言わずもがなだが、「無限を考える基本は有限の極限」ということ。
例えば、下記九州大原隆先生を引用する。

　ご存知、ε-N 論法の説明だが、
“まず，「無限大」（一番大きい数）などは存在しない，ことを再確認しよう．”、
“だから，「n が無限大」とは「n がどんどん大きくなる状態」ととらえるしかない．”、
“これを有限の量のみを用いて表した結果が，「どんなに大きなN をとってきても，そのうちにn がN より大きくなる」という表現だ．”、
省10

361(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:02 ID:yKZ7rRZ6(16/36) AAS
>>360 つづき

外部ﾘﾝｸ[html]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
微分積分続論 (SII-1クラス) 九州大原隆 2008
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
微分積分続論講義ノート (SII-1クラス) 九州大原隆 2008
(抜粋) P1
1.1 数列の極限：ε-N 論法
1.1.1 少しでも理解を助けるために
１．「いくらでも大きくなる」（無限大になる）の表現．まず，「無限大」（一番大きい数）などは存在しない，ことを再確認しよう．なぜなら，一番大きい数があったとしても，それに1 を足したらもっと大きくなるから．
だから，「n が無限大」とは「n がどんどん大きくなる状態」ととらえるしかない．
省4

362(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:03 ID:yKZ7rRZ6(17/36) AAS
>>361 つづき

２．「いくらでも近づく」の表現．数列an = 1/n はいつでも正（ゼロではない）だが，極限はゼロになる．
このように，「その極限に（n → ∞で）いくらでも近づく」けれども「その極限には（有限のn では）等しくなれない」ものの表現にも注意が必要だ．
ここも「n が無限大」と同様に，有限の量のみを用いて表したい．それを実現するのが，「どんなに小さなε > 0 をとってきても，（n が大きくなっていくと，そのうちには）|an ?α| がε より小さくなる」という表現だ．
　ここにも有限，かつ正のε しか登場しないが，このε はこちらでいくらでも小さくとって行くのだ．
(引用終り)

つづく

363(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:04 ID:yKZ7rRZ6(18/36) AAS
>>362 つづき

＜ステップ３−２＞（「現代確率論の無限族の独立の定義」）
１）現代確率論の無限族の独立の定義を、過去スレから引用しよう
過去スレ37 2chｽﾚ:math
649 自分返信：現代数学の系譜古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/08/11
(抜粋)
まず、”確率の独立の定義”は、下記。

（時枝不成立の証明は、実質これで終わっているので、自分で考えて欲しいのだが・・、まあ無理か（＾＾）
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp
独立と無相関の意味と違いについて高校数学の美しい物語 2015/11/19
省8

364(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:05 ID:yKZ7rRZ6(19/36) AAS
>>363 つづき

２）独立 (確率論)より、独立とは？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
独立 (確率論)
(抜粋)
独立（どくりつ、英: independent）とは、確率論において、2つの事象（英語版）が成立する確率がそれぞれの確率の積で表されることを言う。

2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する[1]。
(引用終わり)

＜追加引用＞
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省15

365(1): 2017/08/14(月)23:08 ID:r8mNpGky(7/9) AAS
AA省

366(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:08 ID:yKZ7rRZ6(20/36) AAS
>>364 つづき

３）つまり、現代確率論の独立の定義は、個別事象の確率の積で与えられるのだ
かつ、”その任意の有限部分族がうんぬん”という表現は、現代数学では頻出表現なので、ぜひよく味わってほしい。これからもいろんな数学で、で出会うと思うよ（＾＾
時枝も、この無限を捉える表現の数学的意味とその重さが分かってなかったんだ。まあ、過去に確率論に詳しくないと断言した人もいたね。

（参考）>>215より（数学セミナー201511月号P37 時枝記事）「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」

４）類似表現の例で下記 “定義3 　測地線γ: R → M が直線であるとは、任意のs,t ∈ R に対して、d(γ(s), γ(t)) = ｜s − t｜が成り立つときを言う”を引用しておく。
（これは、どなたかお得意の非ユークリッド幾何の話だが）

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kyoto-u.ac.jp
研究集会「測地線論的フィンスラー幾何」 2011/08/31 - 測地線論史2 京都大学
(抜粋)
省4

367(4): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:10 ID:yKZ7rRZ6(21/36) AAS
>>366 つづき

＜ステップ４＞：有限モデルでの確認（ここ大事です（＾＾）
１）現スレ>>87 Sergiu Hart氏 Choice Games PDF
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il を引用し、使わせて貰おう
P2 の最後 “Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.”とある
つまり、意訳すると
“リマーク：箱の数が有限の場合、プレーヤー1は勝利を保証することができます。
[0、1]と{0、1、・・・、9}上で＊）、xiを独立で一様に選択することによって、game1の勝利確率1とgame2の勝利確率9/10になる。”と
言い換えると、プレーヤー２の立場では、game1の勝利確率0とgame2の勝利確率1/10になる。
省6

368(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:14 ID:yKZ7rRZ6(22/36) AAS
>>367 つづき

話をモデル化しよう
１．時枝同様に、箱に数を入れた数列があって、しっぽの同値類から代表を決めておく
　　まず、有限の箱の数列で考えよう＊）
　　数列S=(s1,s2,・・・,sm,sm+1,・・・,sn) としておく（つまり、箱の数がn個。1<m<n である）
　　しっぽは、m+1以降の箱、即ち、”sm+1,・・・,sn”として、同値類から代表を決めておく
２．箱に1〜PのP個の数をランダムに入れるとする。（P面サイコロか、P面ルーレットなどを使う）
３．場合の数を計算しておくと、重複順列だから、
　　全体はP^n通り、(s1,s2,・・・,sm)がP^m通り、（sm+1,・・・,sn)がP^(n-m)通りなどとなる
(以下略)
省2

369(2): 現代数学の系譜古典ガロア理論を読む 2017/08/14(月)23:15 ID:yKZ7rRZ6(23/36) AAS
>>368 つづき

２）追記１
後で使うので、有限事象の確率を確認しておく。
サイコロを振って、１〜６の数を入れたとする。
この場合、各事象の確率は、
P(s1)=P(s2)=・・・=P(sm)=P(sm+1)=・・・=P(sn)=1/6
全体の事象の確率は、独立性の定義通り
P＝P(s1)*P(s2)*・・・*P(sm)*P(sm+1)*・・・*P(sn)=1/6^n
である。

つづく

370(1): 2017/08/14(月)23:15 ID:r8mNpGky(8/9) AAS
AA省

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