[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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58(3): 2021/02/15(月)16:36 ID:iT3CrOuB(56/102) AAS
例:

C^0(R)を、RからRへの連続関数全体の集合とする。すなわち

C^0(R) := {f: R → R; fは連続 }

f, g∈C^0(R), r∈Rに対して、関数(f + g), rf: R → Rを以下で定義する。

x∈Rに対して
省3

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59: 2021/02/15(月)17:06 ID:iT3CrOuB(57/102) AAS
>>58
> 連続関数の和と積は再び連続関数になる

証明:

f, g: R → Rを連続関数、a∈Rを任意の点とする。

(f + g)が x = aで連続であることを示す。
正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、

|x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε/2
|x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε/2
省19

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70(2): 2021/02/15(月)18:44 ID:iT3CrOuB(68/102) AAS
例:

>>58と同様に、C^0(R)をRからRへの連続関数全体とする。C^0(R)はR上のベクトル空間である。

正の整数nに対して、部分集合C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。
f, gが微分可能であれば、f + gおよび、実数rに対してrfも微分可能であるから、C^n(R)はC^0(R)の部分空間である。

C^∞(R)をRからRへの何回でも微分可能な関数全体とすれば、これもC^0(R)の部分空間である。

C^0(R) ⊃ C^1(R) ⊃ C^2(R) ⊃ ... ⊃ C^∞(R)
省1

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87: 2021/02/15(月)21:34 ID:iT3CrOuB(85/102) AAS
例:

>>58の記号で、k = R, V = C^0(R)とする。a∈Rとする

f∈Vに対して、f(a)∈Rを対応させる写像は、線型写像である。

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