[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)

なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/

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371: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 00:13:50.85 ID:ynttxdFV >>370 その答えは終わっている おサルが、述語論理の 存在例化が 存在を具体化（例化）すると言った ところが、>>253より 存在例化が、単に証明の中で選択公理に名前を付けて固定するだけで、 証明が終わったら固定は解除されて 元の存在のみに戻るなら みんなが、普通にやってる名前を付けることでしょ それなら、集合の本質を変えないから問題ない (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/371

380: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 08:14:59.86 ID:ynttxdFV つづき 例えば、下記 youtu.be をご参照ください 短く言えば 普段の会話で「仮に その人をＡさんとしましょう・・」という話法と殆ど同じ そういうある人が存在するということと、本質的に変わりない つまり、おサルさんは、選択公理で存在が言えれば、存在例化で固定できると言ったけれど その実、ある議論の中だけ。議論が終われば、元の存在のみの選択公理よる存在主張に戻るんだ それだったら良いと言った つまりこれを、一般化すれば、一階述語論理で それが、ある公理系に抵触するならば、それは使ってはいけない 抵触しないならば、使って良い 一階述語論理だから、無制限に使って良いとはならないってことです 公理が優先です。それ常識でしょ？ （＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/380

381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 08:15:59.89 ID:ynttxdFV >>380 つづき (参考) youtu.be/XbSTqUinCf4?t=1 存在例化 下嶋篤 2020/07/04 文字起こし 2:25 「その人」という形で一旦ある人を固定する というようなことをやるわけです 3:06 仮の名前・架空の名前を一旦つけてあげる ということをやるんですね 3:11 その架空の名前を — 例えばcという名前を — つけて なんやかんや考えている 3:37 こうやって証明をしていくというやり方なんですね 3:40 ですから一旦存在している人 — 誰かわからないけれども — 3:44 そいつに仮の名前をつけてそれで話を進めていく 3:47 そういうような証明のテクニックが 存在例化ということになります 5:53 ここのポイントはですね 5:58 ここで得られた結論は 6:00 ここで勝手につけた名前k kという名前を含んでいませんね 6:06 これはkという架空の名前 kを使っていない主張になりますね 6:14 ということで 6:17 こういう もはや「k」という名前を使っていない 主張が導けるということは 6:23 ここでどんな名前をつけたって 結局これが得られたってことになるわけです (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/381

384: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 08:56:21.39 ID:ynttxdFV >>381 追加 "いつになったら制限されている論理式を書くの？" か 笑えますｗｗｗ そもそも、公理とは？ 公理系とは？ から分っていない連中がいる 下記 ”近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年” 全ページ、百回音読してね ”述語論理再び 集合論の”内側" での一階述語論理” ”例えば，L∈ := {∈}として，ZFCに対応する集合ZFC ⊆ SentL∈を考えたりできる” とあるでしょ？ 出来上がったZFC集合の中で、制限した一階述語論理を使います ということ (参考) elecello.com/doc/2016/06/unityLogic.pdf 数物セミナー春の大談話会2016@KOBE 数学を数学するお話 数理論理学 June 19, 2016 近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年 内容 1 導入 形式化ということ ことの起こり 2 述語論理と公理的集合論 集合論の”外側" での一階述語論理 ZFC 集合論 3 集合論から 順序数 基数 4 述語論理再び 集合論の”内側" での一階述語論理 P66-67 第4部：述語論理再び 第4部の目標 第2部でやった述語論理の構成(述語論理の構文論)を集合論の中で繰り返す． また集合論の中では無限集合を含む構造を定義できるから，述語論理の意味論を十分に展開できる． 第4部での約束：引き続きZFCの住人になる． P71 (本物の)L∈論理式が書けるし，これを使ってL項，論理式，文全体の集合TermL FmlL SentL が定義できる． 例えば，L∈ := {∈}として，ZFCに対応する集合ZFC ⊆ SentL∈を考えたりできる． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/384

388: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 09:16:47.46 ID:ynttxdFV >>382 >>選択公理で存在が言えれば、存在例化で固定できると言ったけれど >>その実、ある議論の中だけ。 >　議論の外なんかないけど >　プレイの外がないの同じね　うふ オチコボレおサルさんの ”やり手婆”かい？ ふふふ 例えば、ある人が ある証明の中で 和の記号Σの添え字に i を使ったとする でも Σ i=1〜n とか書いても それは、その証明の中だけ 他の人は、添え字に i に縛られないし また、その人だって 別の証明で Σ k=1〜n として 別添え字 k を使って良いってこと さて、選択公理で 非可算無限集合に対して ある同値関係を使って同値類の分類をした その同値類は、非可算無限に分かれていて 一つの同値類自身も非可算無限集合だとする その状況で 選択公理は、各同値類から一つ元を選んで 代表として良いということを 保証する まあ、数学の憲法みたいなものよ 代表を選ぶのに、選挙はいらないｗ 「どれを代表に選んだか、分らない」？ それを選択公理に求めるのは酷です 選択公理が保証するのは、存在のみ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/388

389: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 09:19:51.35 ID:ynttxdFV つづき だれですか？ ”存在例化で固定できる”とか 各人の内心（ある証明の中だけ）なら可だが それを他人に押しつけることはできない だって、分らんでしょ？ あなたが、どんな代表を選んだか？を そもそも、あなたにも分らんはずｗｗｗ (参考) やり手婆（やりてばあ） google AI による概要 やり手婆（やりてばあ）とは、取り持ち女を意味する慣用句です。 また、江戸時代に遊女屋で女郎や新造、禿（かむろ）などを監督し、遊女屋の最前線を統括する役目を担っていた女性を指す言葉でもあります。花車（かしゃ）、香車（きょうしゃ）、廻し女などとも呼ばれました。 主な仕事は、新参の遊女たちの身持ちや行儀のしつけ、すなわち、彼女たちを一人前の娼婦に育てることでした。遊女らの行動を監視するほか、遊客を品定めして遊興の程度をはかるなど、遊女屋の最前線を統括する役でした。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/389

390: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 09:23:42.05 ID:ynttxdFV >>387 >いつになったら制限されている論理式を書くの？ もう回答したよ >>384より 『"いつになったら制限されている論理式を書くの？" 　か 　笑えますｗｗｗ』 笑えますｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/390

397: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 13:07:24.70 ID:ynttxdFV >>391-396 やれやれ 文盲かつ 数学音痴かｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 一階述語論理 一階の言語 一階述語論理の言語（一階の言語）は次のものからなる： 論理記号 (logical symbol) 略す 非論理記号 (nonlogical symbol) 1.述語記号と呼ぶ記号の集合（有限集合でも無限集合でもよい）。各述語記号にはアリティ（arity）と呼ぶ引数の個数に相当する正の整数が一つ対応しているものとする[1]。 2.略す 3.略す 一階の言語は、それが等号を持つかどうか、非論理記号に何を持っているかを決めることによって定まる。 例えば集合論においては、等号を持ち、非論理記号としては アリティ 2 の述語記号 ∈; だけをもつ一階の言語（集合論の言語）が使われる (引用終り) ここで ”例えば集合論においては、等号を持ち、非論理記号としては アリティ 2 の述語記号 ∈; だけをもつ一階の言語（集合論の言語）が使われる” て書かれていたの分る？ｗｗｗ これで 述語記号 ∈の話 >>384 ”近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年” Ｐ71 L∈論理式 ”述語論理再び 集合論の”内側" での一階述語論理” ”例えば，L∈ := {∈}として，ZFCに対応する集合ZFC ⊆ SentL∈を考えたりできる” また >>361-363 渕野 昌「構成的集合と公理的集合論入門」 P22 L∈-論理式φ と対応している なので、『アリティ 2 の述語記号 ∈; だけをもつ一階の言語（集合論の言語）が使われる』を、百回音読してね その上で、アリティ 3以上とか、述語記号 ∈ 以外とか、 ダメダメダメです。これを理解しましょう！！ ｗｗｗ ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/397

410: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 20:17:09.30 ID:ynttxdFV >>407 補足 下記 >>344-345より再録 ”近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年” 「数学を数学するお話 数理論理学」（2016） にもあるので、再掲するよ ；ｐ） 『<ZFC集合論> 集合論の言語L∈は2項関係記号∈だけからなる：L∈ ＝{∈}. つまり集合論の論理式は ¬,→,∀,＝,∈,(,),,,v0,v1,v2,・・・ のみを用いた有限記号列． ∅,⊆,P,∪・,{・,・}等々の記法は略記にすぎず，原理的には一切略記を用いない論理式で書けることに注意されたい．』 これ知らないんだね 数学科を落ちコボレ卒業して30年 悲惨な落ちコボレさん達でしたとさｗｗ やれやれｗｗｗ ；ｐ） (参考) elecello.com/doc/2016/06/unityLogic.pdf 数物セミナー春の大談話会2016@KOBE 数学を数学するお話 数理論理学 June 19, 2016 近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年 P42 <ZFC集合論> 集合論の言語L∈は2項関係記号∈だけからなる：L∈ ＝{∈}. つまり集合論の論理式は ¬,→,∀,＝,∈,(,),,,v0,v1,v2,・・・ のみを用いた有限記号列． ∅,⊆,P,∪・,{・,・}等々の記法は略記にすぎず，原理的には一切略記を用いない論理式で書けることに注意されたい． P46 ZFC内での「普通の数学」の展開 ZFCの中で，次のようなものが構成できる： ・N,Z,Q,R,Cなどの無限集合． ・それらの上の函数や関係． ・etc. 「有限記号列の有限的操作」で「無限集合をうまくシミュレートできている」ような状況． 以降，ZFCの住人になって議論を進める． つまり，日本語で議論を進めるが，その議論はすべて論理式の有限列に翻訳可能． P65 第3部のまとめ ・ZFC集合論では順序数論や基数論が展開できる． ・ZFC集合論では強い形の帰納法・再帰法が使える． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/410

413: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 22:02:13.84 ID:ynttxdFV >>410 ふっふ、ほっほｗ ；ｐ） (参考) fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 第I部 構成的集合と公理的集合論入門 以下のテキストは「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部です．　 ただし，2009年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけたtypos などの訂正などの update が書きこまれているので，上記の本とは多少異なるものになっているところもあります． Ｐ95 3.3 集合論の内部での論理とモデル理論 (引用終り) ここからP96まで2ページを 百回音読してねｗ ；ｐ） 近藤友祐 神戸大学工学部電気電子工学科3 年>>410 プロ数学者の基礎論研究者によるフォローになっているよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/413

415: １３２人目の素数さん [] 2024/12/08(日) 22:20:51.12 ID:ynttxdFV >>412 >ゲーデルの加速定理のWikipediaなんか変じゃない……？と思ってよく見たら、なんと定理自体の主張が何も書かれてなかった。何これ…… >（ここで問題にしてるのたぶん証明の長さではなく証明の複雑さの話だと思うけど本記事にそのへんの記載がなにもない……） 良い質問ですね by 池上 えーと、そういうとき、外国語のサイトを見るのが定石です で、いまの場合英より仏が良い（下記） fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27acc%C3%A9l%C3%A9ration_de_G%C3%B6del Théorème d'accélération de Gödel (google訳) 数理論理学では、 1936 年にクルト ゲーデルによって実証されたゲーデルの加速定理(またはスピードアップ定理)は、非常に長い証明を持つ定理の存在を示していますが、d 個のわずかに強力な公理系を使用すると証明を大幅に短縮できます。 非公式の説明 略す 定理の厳密な記述 この結果の枠組みは不完全性定理の枠組みと同じです(以下ではこの記事の表記法を使用します)。私たちは再帰的に公理化可能な理論Tに身を置き、算術 (本質的には ペアノの理論が適用される理論) を形式化することを可能にします。公理は定理です) であり、一貫していると想定されます。次に、2 つの定数cとd ( Tにのみ依存)が存在し、 Tの言語でk個のシンボルで表現可能な任意の整数Nに対して、次の特性を持つ命題G ( N ) が存在します。 略す その他の例と結果 このゲーデルの定理は比較的注目されていないようです。Jean-Paul Delahaye は2 、 1971 年に、より強力な結果の実証を指摘し、この現象は、決定不可能な命題を追加できるあらゆる理論で発生することを示しました3。 ハーベイ・フリードマンは、クラスカルの定理やロバートソン・シーモアの定理などのグラフ理論の結果を使用して、同じ現象のより自然で明示的な例を取得しました。 略す (引用終り) えーと 1）定理自体の主張：上記の”定理の厳密な記述”の項を見てね 2）ここで問題にしてるのたぶん証明の長さではなく証明の複雑さの話だと思うけど： 　確かにね 　思うに、キャッチーな命名の問題で、加速定理としたのか 　”Théorème d'accélération de Gödel”（仏）とあるから 　Gödel自身の命名でなく、他者がキャッチーな命名にしたと思うのだが（間違っていたらごめん） （文献で Gödel, Kurt (1936), "Über die Länge von Beweisen", とあるね） 3）なお、文長さと所要時間は、正の相関関係ありが 前提されているかも 　長い文は、時間も長くかかると http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/415

416: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/08(日) 23:38:34.97 ID:ynttxdFV >>413 補足 (参考) fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 第I部 構成的集合と公理的集合論入門 以下のテキストは「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部です．　 （重要ポイントを引用しておきますね） P95 3.3 集合論の内部での論理とモデル理論 集合論の中での集合論の言語もL∈とよぶことにして，論理式の全体の集合をFmlL∈と表し， L∈文の全体をClFmlL∈と表わすことにする． φを集合論の外側での本物の論理式とするとき，φに対応する集合としてのφが存在するが， この逆は必ずしも成り立たないし，そもそも，この逆を考えること自体が意味をなさない． たとえば，(∃φ∈FmlL∈)(・・・)という形の論理式がZFCで証明されたとき， この論理式で存在の主張された論理式φを対応する”本物の”論理式φが具体的に構成できるとは限らないからである． ZFCに対応するClFmlL∈の部分集合をZFCとあらわすことにする． この場合にも，具体的に与えられた論理式φがZFCの公理なら， 対応する集合としての論理式φはZFCの元であるし，φがZFCの公理でなければ， 対応する集合φはZFCの元でない． 証明，証明可能などの概念も集合論の述語として自然に翻訳できる． 以下略す (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/416

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