なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

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108: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/20(水) 17:20:32.57 ID:dQKCe6W8

>>107
>>『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』
>　置換公理を使わなくても、分出公理で十分だから

なんか、ハナクソみたいなこと言ってない？ｗ ；ｐ）
下記のZF集合論の歴史
『1922年、フレンケルとスコーレムは、原子論理式を帰属関係と同一性の表現に限定した一階述語論理における論理式として定式化できるものとして、「明確な」属性を操作することをそれぞれ独立に提案した。彼らはまた、分出公理を置換公理に置き換えることを独立に提案した。これらの公理と（フォン・ノイマンによって最初に提案された）正則性公理[3]をツェルメロ集合論に追加すると、 ZFで表される公理系が得られる』
なんか、ハナクソみたいなこと言ってない？

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論とは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理系である。名前は数学者のツェルメロとフレンケルにちなむ。歴史的に議論を呼んだ選択公理(AC)を含むツェルメロ＝フレンケル集合論は公理的集合論の標準形式であり、今日では最も一般的な数学の基礎となっている。選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択(Choice)公理を、 ZFは選択公理を除いたツェルメロ＝フレンケル集合論の公理を表す
歴史
集合論の現代的な研究は、1870年代にカントールとデーデキントによって始められた。しかし、ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論におけるパラドックスが発見され、これらのパラドックスのない、より厳密な形式の集合論の探求につながった
1908年、ツェルメロは最初の公理的集合論であるツェルメロ集合論を提案した。しかし、1921年にフレンケルがツェルメロに宛てた手紙で最初に指摘したように、当時ほとんどの集合論の数学者が当然と考えていた基数
略
の存在を、この理論では証明できなかった
1922年、フレンケルとスコーレムは、原子論理式を帰属関係と同一性の表現に限定した一階述語論理における論理式として定式化できるものとして、「明確な」属性を操作することをそれぞれ独立に提案した。彼らはまた、分出公理を置換公理に置き換えることを独立に提案した。これらの公理と（フォン・ノイマンによって最初に提案された）正則性公理[3]をツェルメロ集合論に追加すると、ZFで表される公理系が得られる。選択公理（AC）またはそれと等価な命題をZFに追加すると、ZFCが導かれる

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86
分出公理
主な公理的集合論の多くにおいて、分出公理とは、公理図式の一つである。本質的に、どの集合の定義可能な部分クラスも集合であることを主張する
分出公理を内包公理と呼ぶ数学者もいるが、後述のように無制限の内包と呼ぶ者もいる。
制限された内包公理はラッセルのパラドックスを回避できるため、ツェルメロ、フレンケル、ゲーデルといった数学者は、集合論の最重要な公理と考えた
置換公理との関係
分出公理はほとんど置換公理から導出することが可能である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/108

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