ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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410: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:41:04.22 ID:yCcyDMub

つづき

(参考)
mathlandscape.com/binary-relation/
数学の風景
二項関係とは
2023.10.26
ある集合 A があったとしましょう。この2つの元
x,y∈A に対し，何らかの「関係」が定まっているとします。このとき，
x,y には関係があるといいます。
このように，ある集合の2つの元に定める「関係」を，二項関係といいます。
たとえば，A を人間たちの集合とします。人 x,y∈A が友達であるとき，
x,y は「関係がある」と言うことにしましょう。これが「二項関係」です。
この関係に名称をつけるなら「友達関係」ですね。友達でない二人の人には，「友達関係はない」ですね。
他にも，人間同士には，「知り合いの関係」「部下と上司の関係」「同僚の関係」「同国籍の関係」など，さまざまな関係を定めることができそうですね。
あるいは，R を実数の集合としましょう。この上には，
x,y に対して，x≤y あるいは y≤x という「二項関係」が定まっています。
これを順序関係（大小関係）と言ったりします。

二項関係の厳密な定義
1つの集合の上には，いろいろな「二項関係」を考えることが可能ですから，一般に数学において「二項関係」を定義するときは，関係があるかないかのみを定義します。
関係があるかないかを数学的に厳密に定義したいとしましょう。果たしてどうすればよいでしょうか。厳密な定義を見てみましょう。
定義（二項関係）
R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
(x,y)∈R のことを，xRy ともかく。
R という記号を持ちましたが，実際は ∼,≤ をはじめ，さまざまな記号が用いられます。
ちょっと定義に戸惑ったかもしれません。数学的に「2つの関係」の有無を定義しようと思うと，関係があれば属するような集合を考えるというわけです。
(x,y)∈R なら xRy という関係があると考え，(x,y) not∈R なら，そのよう関係がないと考えるわけですね。
たとえば，R 上の順序関係（大小関係） R は，集合でかけばR={(x,y)∈R^2 ∣x≤y}
とかけます。

mathlandscape.com/ordered-set-2/
数学の風景
半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺
2023.08.16
定義（前順序集合・半順序集合・全順序集合）
X 上の4つの二項関係 ≤ について，
1.任意の x∈X に対して，x≤x (反射律)
2.x,y,z∈X に対して，x≤y,y≤z ならば x≤z (推移律)
3.x,y∈X に対して，x≤y,y≤x ならば x=y (反対称律)
4.任意の x,y∈X に対して，x≤y または y≤x (完全律)
のうち，
1,2 をみたすものを前順序集合 (preorderd set)，
1,2,3 をみたすものを半順序集合 (順序集合; partially ordered set; poset)，
1,2,3,4をみたすものを全順序集合 (totally ordered set)という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/410

411: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:41:23.48 ID:yCcyDMub

つづき

mathlandscape.com/wellordered-set/
数学の風景
整列集合と整列可能定理
2024.01.21
整列集合とは，「間隔を空けてきれいに順番に並んだ」集合のことで，具体的には，どんな部分集合を持ってきてもちゃんと大小関係として最小値が定まるような順序集合のことを言います。
整列集合の定義
整列集合＝全順序＋(任意)部分集合が常に最小値を持つ
定義1（整列集合）
半順序集合 A に対し，任意の空でない部分集合が最小値を持つとき，整列集合 (well-ordered set) という。
「半順序集合」といいましたが，任意の2元が最小値を持つことから，整列集合は全順序集合です。半順序集合・全順序集合については以下の図が分かりやすいと思います(→半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺)。
前順序集合：反射律と推移律
半順序集合：反射律、推移律と反対称律
全順序集合：反射律、推移律、反対称律と完全律
5. 整列可能定理

（いつもお世話になっている尾畑先生）
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
第12章 順序集合
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
定義から整列集合は必ず全順序集合であることに注意しよう
実際a,b∈Xに対して集合{a,b}はXの空でない部分集合になるからそれは最小元をもつ最小元はaまたはbであるがそれがaであればa≼bとなるしそれがbであればb≼aとなる
これは任意のa,bが比較可能であることを意味し Xは全順序集合であることがわかる
定義から空でない整列集合Xそれ自身は最小元min X をもつ

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（英: wellordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。
順序数
→詳細は「順序数」を参照
任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/411

420: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 10:13:52.49 ID:RlRmaz0L

>>409 補足
(引用開始)
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
(引用終り)

初心者のために
1）これ、二項関係≦ の定義に、まったくなっていない
　つまり、>>409に記したように
　”数学の風景 二項関係とは で
　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです
　（Rは実数ではなく、関係のことです）
　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない
　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！”
　ということ
2）例えば、集合{0,1,2,3}と4元の集合で
　ここに、整列可能定理を適用して、お好みで
　3≦1≦0≦2 と整列させた。3は長嶋背番号、1は王貞治背番号、0はかっこいい と
3）で、直積A^2の話
　(3,3) (3,1) (3,0) (3,2)
　(1,3) (1,1) (1,0) (1,2)
　(0,3) (0,1) (0,0) (0,2)
　(2,3) (2,1) (2,0) (2,2)
　となって、正方形 直積A^2 ができる
　二項関係 ≦は、いまの場合
　この正方形の対角線より上の部分の集合のことです
4）これを、例えば 実数Rに適用すると
　3≦1≦0≦2≦r4≦r5≦r6・・・｜ r4,r5,r6・・・∈R
　と、非可算の長さの順序列ができる
　これを、縦にも並べて、上記 3)項のペア(順対)を、RxR 作る
　この 非可算列よりなる正方形（一応分かり易くこう表現）の
　対角線より 上の部分の集合が、実数Rの 2項関係 ≦ による整列です
　列 r4,r5,r6・・・の部分は、最後まで具体的に書くことはできないが
　整列可能定理は、数学として その存在を保証するのです
（蛇足だが、列 r4,r5,r6・・・の先頭有限部分は、好きな並びにして 残りを 整列可能定理に任せて良い）
5）さて、上記1)〜4）と、冒頭の ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y))  を対比してみると
　まったく、2項関係の定義として、サマになっていないｗ ；ｐ）
　例えば、∀y∈Y.(f(Y)≦y)ってなに？ そのすぐ上に f(Y)=y に書いてあるから 「y≦y」？
　それとも、Y＝X として （∵Xの任意の空でない部分集合Y）
　f(X)=x ｜ x≠Φ（空集合） とできる
　すると、f(Y)≦y) → ∀x≦y ？
　x は、集合Xの任意の元だから、∀x≦y って、全くナンセンス（無限集合だと、最大値が存在しないかも）
　こんなん、2項関係の定義として、全くサマになっていない！■

”∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) ”の記号表記に 自己陶酔している
その実、選択公理も 整列可能定理も、そもそも2項関係の根本から分ってない！
こんなやつが、数学科修士卒を鼻に掛けて、いばる 便所板 5ｃｈ
滑稽極まりないなｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/420

422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 11:09:31.22 ID:RlRmaz0L

>>404 戻る
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

さて、
1）冒頭 ”of order type sup{α∣aα is defined}.”の部分は、平たくいえば
　整列させようとする集合Aについて、集合Aは濃度を持つので、その濃度から 対応する 順序数の列長さが決まる
　それを、”of order type sup{α∣aα is defined}.”と書いたり、
　” it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A”、最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”
　としているのでしょう
2）なお、トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）さん、基礎論の世界では有名らしい
　で、”大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている”
　とあります。en.wikipediaの証明は、そこに依拠している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%95
トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）はチェコ出身の数学者。専門は公理的集合論、集合論的位相空間論、測度論等。英語圏での活動が長く、著作の署名には英語ふうの“Thomas”（トーマス）を用いることが多い。エルデシュ数は2。

1978年に出版された大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている。
Thomas J. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978. 2nd ed., Springer, 1997. 3rd ed., Springer, 2002 (ISBN 9783540440857).

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jech
Thomas J. Jech (Czech: Tomáš Jech, pronounced [ˈtomaːʃ ˈjɛx]; born 29 January 1944 in Prague) is a mathematician specializing in set theory who was at Penn State for more than 25 years.

External links
https://web.archive.org/web/20120504114504/http://www.math.cas.cz/~jech/
Home page Archived 2012-05-04 at the Wayback Machine, with a copy at Penn state.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/422

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