ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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486: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/21(火) 16:52:48.66 ID:N2eH+PDU

つづき

再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

おサルは、『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？
　答えは否』というけれど
おサルは、Jech氏の証明について
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと
読んだ

ところがところが、もしそれが可能ならば 例えば実数集合R={r1,r2,・・ri,・・rj,・・,rt,・・}として
これに対して、各単元集合 {ri}, {rj} に なにか順序数を振り当てることができて
αi →{ri}, αj →{rj}, などと順序数との対応ができて
αi ≦ αj とすれば ri ≦ rj の順序が可能で
これは、任意の元 rt に対して 順序数αtとの対応ができて 順序数が整列だから
実数集合R が整列できてしまう

これが、任意集合Xに対する 部分集合で 順序数との対応が可能というならば
その時点で、整列可能定理の証明は、終わってしまい、その後は不要ですな！■

同じ欠点が、>>473に引用した 選択公理⇒整列定理 の証明にも言えて
集合Xの任意の空でない部分集合Y に 二項関係を導入して それが 整列順序だと 証明して
そこから、もとの集合Xの整列順序の可能を証明する

まあ、単純明快だが、欠点は 集合Xの任意の空でない部分集合Yの集まりは、べき集合2^X を成すので
もとの 集合Xを扱うよりも、圧倒的に 難しくなる
（集合X=N(自然数)に対して、2^X＝R(実数)となってしまうことから、明らかだね；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/486

497: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/21(火) 21:09:20.40 ID:xF4pfsTj

>>496
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

ふっふ、ほっほ

>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

対比で(参考)>>310より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

さて
1）前段のT Jech 著 では
　”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”とあるが
　後段の それによる en.wikipedia では、この1行は 省かれている
2）また、en.wikipediaから、他国のwikipedia 記載ぶりを見てみると
　中国：en.wikipediaと同じ （仏、伊などは Zornの補題使用）
3）思うに、T Jech 著
　”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
　は、単なるイクスキューズ（excuse）で
　A-{aξ：ξ<α}（＝A∖{aξ∣ξ<α}）は、全部”the family S of all nonempty subsets of A”の中にあって
　単に その部分集合を 使っていますと 言い訳と補強をしているだけのこと と言いたいんじゃね？ （無くても良いと多くの人は 判断している）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/497

498: １３２人目の素数さん [] 2025/01/22(水) 06:38:26.56 ID:g0uvzCcY

>T Jech 著
>”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
>は、単なるイクスキューズ（excuse）で
>A-{aξ：ξ<α}（＝A∖{aξ∣ξ<α}）は、全部”the family S of all nonempty subsets of A”の中にあって
>単に その部分集合を 使っていますと 言い訳と補強をしているだけのこと と言いたいんじゃね？ >>（無くても良いと多くの人は 判断している）

自称阪大工学部卒の大学数学オチコボレ「六甲山のサル」は文字は読めるが文章は読めない

Q1.aαの定義は？
A1. Aからα未満の順序数ξに対応するaξすべてを取り除いた集合に関数fを適用したもの
　　We let for every α
　　aα=f(A-{aξ：ξ<α})
　　For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
　　aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
Q2.A1のaαの定義の中の関数fの定義は？
A2.Aの任意の空でない集合に対してその要素を取りだす選択関数
　　…we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
　　Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
Q3.fの定義域は？
A3.Aの任意の空でない集合
　all nonempty subsets of A.
　non-empty subsets of A.

文章が読めれば、全部答えられるが、六甲山のサルは読めないから全部間違う

なぜ、選択関数の定義域はＡの任意の空でない集合全体であって、その部分集合でないのか
それは、前者は選択公理なしに集合として認められるが、
後者は選択関数を反復適用した結果として構成されるものであって、
これを選択関数の定義とするのは全くの循環論法になってしまうから

論理の基本が分かっていれば決して冒さぬ誤りだが、六甲山のサルは分かってないから平気で冒す
しかも何度も何度も性懲りもなく　要するにヒトとしての知性が全くない

大学新入生などどこの大学であれ（東大であれ京大であれ）
大抵は論理の基本も分かってないからヒトではなくサルである
大学ではサルをヒトにするべく教育するが、まあ９割失敗する

それが現実　失敗したら社奴になる　社奴に知性は要らないからサルでもつとまる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/498

504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 10:37:48.99 ID:XJPGzntw

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

>>498
(再掲)>>497より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.

という具合に、後付けで、簡単に ”注）＊” とでも やっておけば、それで済む話では？
要するに、
”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う
Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので
the family S＝P(A)＼Φ と書ける
分出公理を使うと、Sの部分集合として
{A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・}
これから 集合族 が出来て
A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
集合族は、順序数で添え字付けられている と考えることができる
この集合族に、選択関数を適用すれば良い

”Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.”
で大概の人は分かる

初学者向けに（君のために ；ｐ）
”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
と書けば、多少親切ってことかな ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/504

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