ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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622: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 11:14:29.98 ID:57hfZFiX

>>619 補足

ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて 分りにくいので
en.wikipediaより 下記ご参照

なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると
要するに、取り扱える集合族が 非可算ならば フルパワー選択公理
可算の範囲で、単純なのが 可算選択公理
さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記)

で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で 集合族の添え字を
非可算から、可算に制限すると 可算選択公理か従属選択公理になる
ということ

大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは
全てできる。

繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる
当たり前だが、関数の定義域は 都合により いろいろ制限してよい
また、必要により 矛盾なく拡張できるならば、そうして良い
（あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には 自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)].

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する
可算選択公理
従属選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
形式的な言明
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる
使用例
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は
AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/622

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

637: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 15:07:26.99 ID:57hfZFiX

ところで、下記
集合論の形成にみる「直観」の問題
中村大介 学習院大学 科学哲学46−1（2013）
”2 カントールの創造”
を見つけたので、貼っておきますね
これ 非常に興味深い
いま、カントールの原論文に 注釈なしで 読む気もない（おそらく読む能力もない）
から、下記はありがたい

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/46/1/46_53/_pdf
科学哲学46−1（2013）
集合論の形成にみる「直観」の問題
一カヴァイエスの立場から−
中村大介 学習院大学
(抜粋)
2 カントールの創造
2.1　1881年以前
ここでは再構成の出発点を，ゲオルグ・カントールの1872年の論文「三角
級数論の一定理の拡張について」に定める．タイトルから分かる通り，この時
期，カントールはまだ解析学の領域で仕事をしていた．この論文で彼は1870
年に考察した実関数の三角級数展開
f(x) = 1/2a0+(a1 cosx + b1 sinx)+・・・+(an cos nx +bn cosnx) + ・・・
の一意性の問題を，導集合の概念を導入して再考している．
今，あるｎ次導集合(n∈N)が空集合となるような集合を第(n- 1)種集合
と呼ぶことにすると，カントールは以下が成り立つことを示した．すなわち，
実関数が上の形に三角級数展開されるならば，区間[0,2π]内の，何らかのあ
る第k種集合に属する点を除く全てのxに対して，この展開は一意である．
ここで注意すべきは，導集合を作る手続きほいまだ有限の範囲にとどまっ
ている，ということである．そして，この手続きを有限の範囲を超えて拡張
することが，集合論の形成に大きく貢献することになる．そして，カントー
ルはこの時点で既に，この手続きを一般化することの重要性に気がついてい
たように見える．

この拡張が最初に見られるのはやや時代を空けて2，1879年のことである．
この年から1884年まで，彼は「無限線状点集合について」と題された一連
の論文を執筆する．全六部まであるこの論文は，カントールがいかにして解
析学を超出して超限集合論を形成していくか，その経緯を雄弁に語ってくれ
る．

1879年に発表されたこの第一部で注目すべきことは，1873-1877
年の間に集中的に検討された「濃度」概念とこの集合の類との関係が考察さ
れ始める，ということである．カントールは既にこのとき，自然数全体の集
合の濃度と実数全体の集合（線状連続体）のそれとが異なる，という結果を
得ていた．そこで，集合をボトムアップ式に作りだしていくことで，これら
異なった二つの濃度をもつ集合に至れるかどうかは，彼にとって重要な関心
事であったのである．カントールはこの考察のために，「クラス」と呼ばれる
集合に対する別の区分を導入する．可算集合を全て含むクラスが「第一クラ
ス」，連続区間と全単射対応する集合を全て含むクラスが「第二クラス」とさ
れる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/637

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