ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

792: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3

>>778 補足
(引用開始)
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）
(引用終り)

＜補足＞
１）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要
２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
３）調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある
（下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。
　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion”
　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界）

(参考)
de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl
Axiom der abhängigen Auswahl
(google 英訳)
axiom of dependent choice
use
The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion .

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Use
The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function
A with domain  (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every
n∈N, there exists a function
f with domain N such that f(n)∈A(n)
for every n∈N.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/792

797: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 22:04:56.41 ID:a/peK22S

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

>>649に引き続き 『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げよう
まず、マクラの続きです
下記 Akihiko Koga さん いいね

（参考：いつもお世話になっている Akihiko Koga さん ）
www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html#TransfiniteMethod
Zorn の補題と選択公理のお話
(about Zorn's Lemma and Axiom of Choice)
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update) 1st Aug. 2018 (First)
目次
概要
動機
選択公理とZorn の補題の内容
Zorn の補題の成分表
Zorn の補題は何に使えるのか
主な証明方法の種類
何が難しいのか(長いチェインを作る証明について）
【幕間 - 集合論の数取りゲーム -】
証明（長いチェインを作る）
同値な命題
テューキーの補題(Tukey's lemma)
ハウスドルフの極大原理(Hausdorff's maximal principle)
選択公理と類似の命題
選択公理より弱い命題
考察
ある応用における選択公理との対比(部分関数から全域関数への拡張)
Zorn の補題における選択公理の役割
ある種の構成的定義に関する妥当性
（「上の規則で作られたものだけが〇〇である」）
集合のクラス V における再帰的定義について
Zorn の補題における選択公理の役割 AGAIN
[比較的重要] 考察その２（二つの上昇原理 v.s. 一つの選択関数）
[比較的重要] 考察その３（上昇原理の考察 AGAIN．「...」の正体は？）
(2020.1.22 追加)
歴史
参考文献
手っ取り早く Zorn の補題の証明や応用などを知りたい人向けの情報
そのほか
より良い理解のために知っておいたほうが良いこと

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/797

807: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/30(木) 10:09:01.06 ID:Xxyr0Rol

>>803-805

まず >>763より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）
>> （明らかに、集合Aと同じ濃度）
>> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
>「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない

上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている
なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）

２）
>「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える

意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A”
から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？
先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ
つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です

３）
>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>書いてあるかな？

話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 聞いたんだよｗ
そして、先制攻撃しておく
上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので
置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度
但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792
以上

なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ
ここで、”as desired”にご注目

公理系は、基本 やりたい数学をやれるように選ぶべし
但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる
ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで 矛盾や脱線が起きてない」
そうい公理系だってことよ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/807

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 195 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.016s