[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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144(1): 01/11(土)21:50 ID:7/7JENEr(5/5) AAS
>>99
>選択公理 vs 整列可能定理
>と同様に
>可算選択公理 vs 可算整列可能定理
>となると思うが
はい、誤り。連想ゲーム失敗ですな。
145(2): 01/12(日)06:38 ID:By1jwgYu(1/5) AAS
>>143
＞可算集合の整列可能性（これは自明）
そうだね
一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である
そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば
任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである
146(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:34 ID:gsEji7DN(1/21) AAS
>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。
やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
省12
147(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:34 ID:gsEji7DN(2/21) AAS
つづき
中国版（上記証明の補足として）
zh.wikipedia.org/wiki/%E8%89%AF%E5%BA%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
良序定理
（google訳）
整序定理からの選択公理の証明：
空ではない集合族E上の上記の選択関数を構築するには
集合族の和集合を ×=∪A∈E A として
×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
省18
148(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:59 ID:gsEji7DN(3/21) AAS
>>145 追加
下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です
見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし
証明のポイントは、
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ”
の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す
A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね
フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い
しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で
可算の整列可能定理になります
省17
149: 01/12(日)09:11 ID:F+I6x7M1(1/26) AAS
雑談くんは背理法の勉強からやり直した方が良い
背理法も分からないんじゃ大学数学なんてとてもじゃないが無理だから
コピペなんてしてる場合じゃないぞ
150: 01/12(日)09:17 ID:F+I6x7M1(2/26) AAS
なんで否定すべき背理法の仮定を証明する必要があるんだ
しかも否定されるんだから証明不可能なのに
君、滅茶苦茶だよ 自覚した方が良いよ
151(1): 01/12(日)09:23 ID:F+I6x7M1(3/26) AAS
コピペはやめた方が良いぞ
勉強しないことの言い訳におまえの中でなってるから
152(1): 01/12(日)09:29 ID:By1jwgYu(2/5) AAS
>可算の整列可能定理→可算選択公理については、
>”整列可能定理→選択公理”の証明を参考にすれば、
>容易でしょう
ダメでしょｗ
集合族が可算集合だからといって、
集合族に属する各々の集合が可算集合とは限らんのだから
なんか根本的に分かってないねえ
大学１年の微積と線型代数の最初の定義のところから落ちこぼれたおサルさんは
153: 01/12(日)09:31 ID:By1jwgYu(3/5) AAS
>>151
◆yH25M02vWFhPが
「数式処理システムと生成ＡＩがあれば、誰でも数学者になれる」（ドヤぁ） といったとき
「ああ、コイツ数学全然分かってない上に数学舐めてんなあ」 と心底思った
154(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:38 ID:gsEji7DN(4/21) AAS
>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。
さて、もどると
そもそも、選択公理は、整列可能定理を導くために考えられた
即ち、例えば 非可算の実数Rを 整列可能とするための公理であった
その類で、可算選択公理は、可算集合に対し 整列可能定理を導くとして
可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから
可算集合の族に対しては、いえるかも・・、おっと、壱大整域さん 可算和定理
省15
155(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:49 ID:gsEji7DN(5/21) AAS
>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。
さて、”可算集合の整列可能性（これは自明）”について
これ、下記 整列集合→ Well-order → Well-ordering principle と辿ると
”the set of natural numbers”の ” Well-ordering principle ”と混同してない？
確かに、下記に 整列原理の英文証明があるけど、あくまで 自然数N のことでしょ？ ；ｐ）
『可算集合の整列可能性（これは自明）』は、見つからないよ
(参考)
省16
156: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:54 ID:gsEji7DN(6/21) AAS
>>154 訂正
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．
以下略
↓
命題 選択公理 ⇒ 可算和定理
証明 { Xn }n=0∞ を可算集合の族とする
略す
定理 「 R=∪n=0∞Xn ， |Xn|=アレフ0 とは書けない」は ZF で証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．
以下略
省1
157: 01/12(日)09:54 ID:F+I6x7M1(4/26) AAS
>>152
>ダメでしょｗ
>集合族が可算集合だからといって、
>集合族に属する各々の集合が可算集合とは限らんのだから
ですね。
集合族Xに属する各々の集合にもし最小元が存在すれば選択関数をφ(x)=min(x)で定義すれば良いが、
可算の整列可能定理を仮定しただけでは最小元の存在は言えないね。∀x∈Xが可算でない限り。
158(2): 01/12(日)09:55 ID:f+uyuyBP(1/6) AAS
>>146
可算集合の整列可能性は定義から自明。
可算選択公理は証明に不必要で
関係ない公理であると言える。当然ながら
可算集合の整列可能性⇒可算選択公理
が証明できるわけない。
リンク先の証明でいうと
可算集合族をEとして、Eに属する集合たちの和集合をXとする。
Xの整列から、可算選択公理が導かれるが
Xは可算集合とは限らないのだから、あなたの言う
省7
159: 01/12(日)10:06 ID:F+I6x7M1(5/26) AAS
雑談くん、性懲りも無くまたコピペを繰り返す
いくらコピペしても背理法すら理解できないんだから無駄なのに
>赤ペン入れると
雑談くんは赤ペンじゃ済まない 根本的に分かってないから
160(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:14 ID:gsEji7DN(7/21) AAS
>>154 追加
見つけてしまった ；ｐ）
下記
”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”
だってさｗ
そうすると
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
↓
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は可算選択公理が無ければ証明できない．
かもしれない（en.wikipediaが絶対正しい保証はないから）
省10
161(1): 01/12(日)10:21 ID:f+uyuyBP(2/6) AAS
>命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．
頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで
集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。
162: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:22 ID:gsEji7DN(8/21) AAS
>>160 補足
>”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).”
”any”の意味が、任意有限 countable なのか、あるいは 可算無限までを含むのか？
文全体の趣旨からすると、後者に読めるが（countable choiceにおける ”countable”の意味と解すれば）
まあ、en.wikipediaの書き手が、どこまで意図したのかだが？
出典がないので、なんとも言えない・・ ；ｐ）
163: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)10:27 ID:gsEji7DN(9/21) AAS
>>161
(引用開始)
>命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．
頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで
集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。
(引用終り)
いまのコンテキストは >>154 より
『可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから
可算集合の族に対しては・・』
ってことね （＾＾
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