ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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320: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/15(水) 23:39:55.82 ID:HSrNcrvS

つづき

これを、院試の問題と考えて、採点すると
1）P：選択公理⇒Q：整列定理 で
　選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けないところが
　これをすっぽかし、証明の頭出しと、最後がスッキリしない 印象の悪い答案になった
（選択公理と整列定理のステートメントを、ビシと正確に書くと、採点者に好印象だろう）
2）いまは、数学的ステートメントは略して 日常語で書く
　P：選択公理 『空でない集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
　Q：整列定理 『任意の集合Aから要素を一つずつ取り出して、整列できる』(Aは、>>310で使われているので合わせた)
　ということね
3）つまり、P：選択公理⇒Q：整列定理の証明で
　任意の集合Aから 空でない集合族を作って そこから 一つずつ要素を取り出す
　ここが、一番のポイントです
4）そういう目で、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明を見ると
　A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしているんだね
　”∖{aξ∣ξ<α}”の部分は、{aξ∣ξ<α}を除く意味（＝”∖”）だね
　{aξ∣ξ<α}の部分が、既に取り出して、並べた（順序を与えた）部分だな
　よって、これで集合族が出来て
　aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})の fが選択関数です
5）最後の方で、”α<β 　(in the usual well-order of the ordinals)”などと、軽く流している
　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対応がつくんだよと
　軽く流している。順序を グダグダ言わないの！！
6）さて、この視点で、上記の証明を再度見ると
　・証明の2行目からが、整列をグダグダ書きすぎ。ここ ”(in the usual well-order of the ordinals)”と、軽く流すべし
　・証明すべきステートメントの数学的表現が無い
　　P：選択公理⇒Q：整列定理 が 明確でない
　（つまり、証明のスタートとゴールが不明確！）
　・証明の1行目のみが、スタートの選択公理について述べているが
　　その後 整列させるべき 集合Aからの 選択関数fが使える集合族を作る方に意識が行かずに
　　自明の整列の証明に走ってしまった
　・なので、まあ採点は10点満点で 1か0点か？ 整列の 二項関係 とか グダグダ書いたから お駄賃の1点あるかないかでしょ
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/320

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