ﾓﾝﾃﾎｰﾙ確率計算問題を量子論確率収束問題と考える人達 (354ﾚｽ)
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121: 04/04(木)02:30 ID:8wYGN8I6(1) AAS
多くの高名な数学者が間違えて高IQのラジオの質問コーナーの解答者が正しかっというやつね。
数学者どうしちゃってたんだろうね。
122: 04/04(木)07:31 ID:vHZNnEgg(1) AAS
量子との関わりはわからないが、モンティ・ホール問題に対する答え方には2種類あって、一つは選択を変えずに勝つ確率は「挑戦者が最初に選んだドア(A)が当たりかつ司会者が他の2つのドアのうちの一方(B)を開けた場合と他方(C)を開けた場合の和事象（論理和）の確率」であり、選択を変えて勝つ確率は「Bが当たりかつ司会者がCを開ける場合とCが当たりかつ司会者がBを開ける場合の和事象の確率」であるとするもので、
もう一つの答え方は選択を変えずに勝つ確率は「司会者がCを開けたなら「Aが当たりかつ司会者がCを開ける確率」、司会者がBを開けたなら「Aが当たりかつ司会者がBを開ける確率」」であり、選択を変えて勝つ確率は「司会者がCを開けたなら「Bが当たりかつ司会者がCを開ける確率」、司会者がBを開けたなら「Cが当たりかつ司会者がBを開ける確率」」であるとするもので、
前者の和事象の確率を答えとする解答では、司会者が開けたドアがBとCのうちどちらなのかという情報を挑戦者が知っているという設定を含むモンティ・ホール問題においてこの情報を解法に反映できていないという点において誤りがあるのだけど、
巷でよくある「条件付き確率を用いない分かりやすい解法」は実質的にこの前者の和事象の確率を答えとする解答になっているため間違っているといえる。
それに対し後者の解答は司会者が開けたドアがBとCのうちどちらなのかというこの情報を答えに反映させている正しい解答になっている。
123(1): 04/04(木)20:31 ID:rDz7QG+n(1) AAS
よくわからないが2種類ある答え方というのは
結論が違うの？
この問題正解は扉を変更する方が当たりの確率は高くなる。変えると2/3 変えないと1/3だけど。
124(1): 04/05(金)02:08 ID:NuQtQpGf(1/7) AAS
>>123
「選択を変えた方が有利である」という結論自体はほぼほぼ変わらないといえる。
挑戦者が最初に選んだドアをA、司会者が開けたドアをC、残りの1つのドアをBとすると、この問題（英語版ウィキペディアのモンティ・ホール問題の記事の問題文）の答え（挑戦者が選択を変えた方が有利であるかどうか）は、
選択を変えて勝つ確率（= Bが当たりである確率（= 1/3）にBが当たりのとき司会者がCを開ける確率（= P(C|B)）を掛けた値）と選択を変えずに勝つ確率（= Aが当たりである確率（= 1/3）にAが当たりのとき司会者がCを開ける確率（= P(C|A)）を掛けた値）の大小関係によって決まり、
もしP(C|B) = 1, P(C|A) = 1/2だったら選択を変えると選択を変えなかった場合の2倍の確率で勝てることになるから選択を変えるほうが有利であるという結論になるが、仮に(P(C|B), P(C|A))の値が(1,1), (1/2, 1/2), (1, 1/2)だったりすると有利度は同じだったり逆転したりするから結論は状況によって異なりうる。しかしこの問題で記述される状況における挑戦者の選択の一般的な方針を決めるのなら選択を変えるほうが有利であるという結論でいいと言いたくなる。
125: 04/05(金)02:10 ID:NuQtQpGf(2/7) AAS
>>124
訂正
(1,1), (1/2, 1/2), (1, 1/2) → (1,1), (1/2, 1/2), (1/2, 1)
126(1): 04/05(金)03:01 ID:z1OEHzpD(1) AAS
言ってることはわかるがこれって実際にテレビで放送してた設定で考えるべき問題だと思う。
そうするとP(C|B)は1以外ないと思うのですが。
1でない場合は司会者が当たりの扉をあけてしまうということでしょ？
そういうルールではなかったと思うんですが。
127: 04/05(金)05:18 ID:NuQtQpGf(3/7) AAS
>>126
テレビ番組「Let's Make a Deal」の当該部分の内容を知らないから何とも言えないのだけど、上にも書いたように俺は英語版ウィキペディアの問題文に基づいて考えている。
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Monty Hall problem. Wikipedia.)
そうすると、Bが当たりのとき司会者がCを開ける確率（P(C|B)）の値が1であるかどうかは、この「, which has a goat. 」の部分を司会者の従う規則と見るか一度の事実と見るかにより決まると考えられる。
128: 04/05(金)06:10 ID:SsPCcsdu(1/6) AAS
モンティホール問題の顛末や解説はいろんな本で扱っていてモンティホール問題だけで一冊書いてる人もいるが司会者は必ずハズレのドアを開けることになってるようです。
129(1): 04/05(金)06:12 ID:SsPCcsdu(2/6) AAS
そもそも司会者が当たりを開けたらゲームにならないし。
130(1): 04/05(金)06:16 ID:SsPCcsdu(3/6) AAS
モンティホール問題だけ扱っている本ではモンティホール問題の変型版として司会者がランダムにドアを開けるケースも考察されてて司会者が当たりを開けたらゲームはやり直しにするというもの。その場合は選択を変えても変えなくても勝つ確率は同じになりますね。
131(1): 04/05(金)09:43 ID:NuQtQpGf(4/7) AAS
>>129,130
司会者が当たりを開けた場合はゲームにならない（ゲームとしてカウントしない）またはやり直しにする場合は、ゲームの統計をとったときに「司会者が当たりを開けた場合」を無視するということだから司会者が必ずハズレを開ける場合と同じと見做せる。
一方、司会者が（A以外の）当たりを開けた場合も1回分として扱う可能性がある場合、司会者が（A以外の）当たりを開けた場合に選択を変えて勝つ確率を0とするか1とするかに関わらず、Bが当たりのとき司会者がBを開ける確率（P(B|B)）とBが当たりのとき司会者がCを開ける確率（P(C|B)）の間の確率分布を（(P(B|B) = 0, P(C|B) = 1)以外にも）考えることができる。
132: 04/05(金)09:52 ID:NuQtQpGf(5/7) AAS
>>131
司会者が（A以外の）当たりを開けた場合を単に除外する場合はBまたはCが当たりの確率が減ってその分Aが当たりの確率が増えることになってしまうのに対して、司会者が（A以外の）当たりを開けた場合にやり直しを行う場合は司会者が必ずハズレを開ける場合と同じと見做せるからこの両者は区別しなければならなかったな
133(1): 04/05(金)11:53 ID:SsPCcsdu(4/6) AAS
司会者が当たりを開けたらやり直しは必ずハズレを開けるのと同じになりますか？
挑戦者がAでハズレを引いたうち、半分は無効とされてしまうからその場合変更して当たりになるら確率を減らすと思いますが。
Aでハズレを選んでいて
司会者が必ずハズレを開ける場合は変更すれば当たる確率1なのに対して司会者が当たりをあけてやり直しになる確率が出てくるわけだから。
134: 04/05(金)12:42 ID:NuQtQpGf(6/7) AAS
選択を変えることが挑戦者にとって有利かが問われるタイミングが司会者がドアを開けた後（事後）であるかどうかによって問題のタイプを分けることができて、
もし事後であれば挑戦者が最初に選んだドア（A）以外の2つのドア（B, C）を区別し、そのうちの一方を司会者が開けたという事実に対して他方を司会者が開けたという事態は反事実として除外する必要がある（モンティ・ホール問題はこのタイプの問題に属する）。したがって挑戦者が選択を変えずに勝つ確率はAが当たりのとき司会者がBを開ける確率（P(B|A)）とAが当たりのとき司会者がCを開ける確率（P(C|A)）の間の確率分布に依存すると考える必要がある。
その一方、問題の問われる時点が特に事後というわけではない場合、司会がBを開けた場合と司会がCを開けた場合を対称的に扱う必要があり、どちらか一方のみを残して他方を反事実として除外することができないため、挑戦者が選択を変えずに勝つ確率は（Aが当たりかつ司会者がBを開ける場合とAが当たりかつ司会者がCを開ける場合の和事象の確率に等しくなり）P(B|A), P(C|A)間の確率分布に依存せず無条件にAが当たりである確率（= 1/3）に等しいと考える必要がある。
以上の理由から（レス番号122で書いたように）モンティ・ホール問題の答え方として正しいのは選択を変えずに勝つ確率をP(B|A), P(C|A)間の確率分布に依存するものとして扱う場合のみであり、選択を変えずに勝つ確率を無条件にAが当たりである確率に等しいとする答え方は正しくない。（ただしモンティ・ホール問題とは別の非事後型の問題に対する答え方としては正しい）
135: 04/05(金)14:54 ID:SsPCcsdu(5/6) AAS
違いがよくわかりません。
司会者は必ずハズレのドアを開けるという前提で
司会者がハズレのドアを開けた後に挑戦者に
選択を変えるか？を聞くと言う前提ではどうなると考えていますか？
司会者が必ずハズレのドアを開けるのだから最終的に残ったドアは2つで挑戦者がはじめに選択したドアが当たりなら変えるとハズレ。
はじめがハズレなら変えると当たり。
はじめに当たりを選ぶ確率は1/3
はじめにハズレを選ぶ確率は2/3
よって選択を変えた方が得が答えだと思いますが違うと言っているのですか？
136(1): 04/05(金)15:27 ID:SsPCcsdu(6/6) AAS
司会が扉を変えるかを問うタイミングが、事後、と言っている場合と、事後に限らないと言っている場合が、それぞれどういう状況なのかを
具体例を示して頂けますか？
137: 04/05(金)15:38 ID:NuQtQpGf(7/7) AAS
>>133
すまん、Bが当たりのとき司会者がBを開けてやり直した場合必ずBが当たりになり司会者がCを開くことになると思い込んでいた
やり直すっていうのは司会者がA以外の当たりのドアを開けた場合を無効とみなす（選択を変えても当たりにならないとする）ことと確率的にはほぼ同じだから、司会者が必ずハズレを開ける場合と同じではないね
138: 04/05(金)16:54 ID:HMABO3ju(1) AAS
すいません。わかりにくい書き方でしたね。
まあこの問題は少し設定を変えると答えが変わるのでいろいろ考えがいのある問題だと思う。
だからこそこの問題だけで本一冊書ける。
139(3): 04/06(土)11:07 ID:k5rQ168D(1/4) AAS
>>136
事後型のルールはモンティ・ホール問題そのもので、司会者がドアを開けた後に選択を変えるかを司会者がドアを開けた後の時点で決めることができるというルール
非事後型は、司会者がドアを開けた後に選択を変えるかを司会者がドアを開けるよりも前（例えばルール説明をした後ゲームを始める前）の時点で予め決めておかなければならないというルール（司会者がドアを開けた後に（司会者がどのドアを開けたかという情報に基づいて）選択を変えるかを決めることができない）
140: 04/06(土)11:27 ID:k5rQ168D(2/4) AAS
>>139
・選択を変えなければ勝つ ⇔ Aが当たり
・選択を変えれば勝つ ⇔ Aがハズレ ⇔ BまたはCが当たり
よって
・P(選択を変えなければ勝つ) = P(Aが当たり) = 1/3
・P(選択を変えれば勝つ) = P(Aがハズレ) = P(BまたはCが当たり) = 2/3
ということから選択を変える方が有利であるという結論を導くことができるのは非事後型（非モンティ・ホール問題）のルールにおいてのみ（このこと自体は事後型ルールにおいても同様に成り立つ）
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