不等式への招待第２章

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2(10): 05/01/17 19:43 AAS
>>1 乙

類稀なる良スレの続編に期待しております。

3(4): 05/01/18 00:34 AAS
【 Majorization Inequality 】
Jenzenの不等式の一般化らしい…。

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk Page.2, 4
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk Page.4

4(2): 05/01/18 03:13 AAS
検索で、こんなサイトを発見した…。
もうそのまんま（笑）
見つけたばかりで、中は覗いてませんが…

JIPAM - Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics
外部ﾘﾝｸ[php]:jipam.vu.edu.au

中国不等式研究小組
外部ﾘﾝｸ[htm]:zgbdsyjxz.nease.net

5(1): 05/01/20 22:28 AAS
外部ﾘﾝｸ:www.math.northwestern.edu

不等式発掘元サイトに追加。

6(1): 05/01/21 07:02 AAS
>>1-5
good job !
日本には>>4のような不等式専門の研究サイトって、ここぐらいですか？

7(3): 風あざみ 05/01/22 00:35 AAS
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

解答には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること
を証明なして使います。

解答前に、二つほど補題を示します

(1)
x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。
(2)
省1

8: 風あざみ 05/01/22 00:37 AAS
>>7
(1)
x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。
だな、突っ込まれる前に訂正(w

9(1): 風あざみ 05/01/22 00:52 AAS
x^4+y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4+y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、zの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0,y_0の一方が奇数、他方が偶数であることがわかる。
x_0が奇数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

(x_0)^2=m^2-n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2+n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mod　4で考えるとmが奇数でnが偶数でなければならないことがわかる。
省7

10: 風あざみ 05/01/22 01:08 AAS
x^4-y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合が起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
省3

11: 風あざみ 05/01/22 01:09 AAS
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。
省1

12: 風あざみ 05/01/22 01:10 AAS
我ながら、書きまちがいが多いな
>>9の
＞(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
＞(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
は
(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
の誤りだった。

13(1): 風あざみ 05/01/22 01:39 AAS
要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい

a^2+b^2=c^2を満たす有理数は
a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。
sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数
fとgは互いに素な整数。

ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2
f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。
M=f^2*N

st(s^2-t^2)=N*g^2

Nが平方数のとき
省4

14: 風あざみ 05/01/22 01:41 AAS
N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=g^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=g^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
省4

15(1): 風あざみ 05/01/22 01:43 AAS
N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
省3

16: 05/01/22 01:45 AAS
風あざみぐっジョブ。問題はシンプルなのに、証明はひどく大変なんだな。
別解もありそうな気がするね。漏れは無理だ

17(1): 風あざみ 05/01/22 02:04 AAS
pをp≡3　(mod　8)となる素数とする。
N=p*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2
sがpで割り切れてtがそうではないと仮定すると、
(s/p)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡r^2
{rt^(-1)}^2≡-1　(mod　p)だから不合理

s^2-t^2がpで割り切れると仮定する。
st{(s^2-t^2)/p}=(整数)^2
上と同様な議論により、sとtと(s^2-t^2)/pが平方数となる。
省6

18(1): 風あざみ 05/01/22 02:20 AAS
以上の議論より
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2とかけるとき
tがpで割り切れてsがそうではないことがわかる。

(t/p)s(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs,t/p,s^2-t^2が平方数となるが、
s=u^2、t=pv^2、s^2-t^2=r^2
s=i^2+j^2、t=2ij、r=i^2-j^2
(i,jは互いに素で一方が奇数、他方が偶数)
iは奇数、jは偶数と仮定する。

u^2=i^2+j^2となるからi=k^2-h^2、j=2kh、u=k^2+h^2
省7

19: 風あざみ 05/01/22 02:24 AAS
>>13、>>15、>>17-18の議論より
Nの候補になりうるのは、N≧5しかない

よってM≧5が示され、ab≧10が示された。

20(2): 05/01/22 03:45 AAS
グッジョブ
でも、あれ？？？　等号成立条件はどこ？

21(15): 前スレの未解決問題 05/01/22 05:21 AAS
[前スレ.360(2)]
(D.D.Adamovic) m>2 Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

[前スレ.563(7)]
自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
[前スレ.705]
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.

[前スレ.565(3)]
[1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
　tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
省13

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