[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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957: 2007/04/30(月)18:46 AAS
シャッキンの不等式
借金＜返済額
958(1): 953 2007/05/01(火)01:33 AAS
>>954
ありがとうございます。そのAAもさっそく保管庫に収録させていただきました。
>>955-956
元のリストと>>955さんのリスト，あとは自分がこのスレ中で拾ったリンクを統合し，
リンク切れサイトは除いて，統廃合しておきました。
参考文献への Amazon リンクを張る作業をしていて，
参考文献[3]「不等式への招待」が絶版になっていることに気づきました。
あと，「個別の問題解答やまとめ」のページに>>798の解答を掲載したり，
このスレでよく使われる不等式のまとめページを作ったりしておきました。
このまとめサイトはWikiなので，誰でも自由に編集できます。
省2
959: 2007/05/01(火)01:41 AAS
2χ≧5
960(2): 2007/05/01(火)02:21 AAS
AA省
961(1): 2007/05/01(火)02:35 AAS
よく使う不等式に、相加相乗平均に調和平均を付け加えたいですね。
他には…、
加重平均、r次平均、チェビシェフの不等式、ミンコフスキーの不等式、並べ替え不等式
あと、よく分からんのが、Majorization Inequality ('A;;;;::::
962: 2007/05/01(火)02:44 AAS
前スレでお世話になった「数オリ事典」を参考文献に追加した。
（この本で、並べ替え不等式を知った）
963(1): 953 2007/05/01(火)04:38 AAS
>>961
ご指摘を受けてとりあえず諸々を追加しておきました。
964(1): 2007/05/01(火)06:32 AAS
>>963
TeXでまとめて、画像に変換して…と、大変な作業、おつかれ様です。
Texで書いてjpg画像にしたんだけど、画像の貼り方というより、
画像をどこにUPすればよいか、よく分からんのですが…
UPできれば、同じようにリンク先を書いてしまえばいいんだろうけど…
965(1): 2007/05/01(火)06:45 AAS
なるほどな〜。
試しに、不等式を一つ貼ってみますた。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
966: 953 2007/05/01(火)11:10 AAS
>>964-965
収録不等式増強にご協力ありがとうございます。
画像を貼るには，まず，左上の「添付」をクリックしてファイルをアップロードします。
次に，ページ編集画面で，「IMG」と書いてある，画像を貼るボタンがあるので，それをクリックして画像を選択すると貼れます。
あるいは，ソース中で &ref(URL) を直接書いてもよいです。
967(1): 2007/05/01(火)14:41 AAS
>>960
ﾜﾛﾀ
絶版か、、買っとけばよかったorz
並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。
968: 2007/05/01(火)15:14 AAS
>>967
> 並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。
Exactly（そのとおりでございます）！ AA略
969: 2007/05/01(火)15:23 AAS
AA省
970: 2007/05/01(火)18:54 AAS
>>950
(x^2 +yz)/[x√(2(y+z))] + (y^2 +zx)/[y√(2(z+x))] + (z^2+xy)/[z√(2(x+y))] ≧ √((y+z)/2) + √((z+x)/2) + √((x+y)/2)
≧ √x + √y + √z.
(略証)
・右側
√((x+y)/2) ≧ (√x + √y)/2 を循環的にたす。
この式は (x+y)/2 = {(√x + √y)/2}^2 + {(√x - √y)/2}^2, または f(x)=√x が上に凸, で簡単。
・左側
yはxとzの中間にあるとすると、(x-y)(y-z)≧0,
(左辺) - (中辺) = (x-y)(x-z)/[x√(2(y+z))] + (y-x)(y-z)/[y√(2(z+x))] + (z-x)(z-y)/[z√(2(x+y))]
省18
971(1): 2007/05/03(木)16:40 AAS
不等式を２つほど…
つ 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
972(3): 2007/05/03(木)16:53 AAS
AA省
973(1): 2007/05/04(金)06:34 AAS
>972
[490] (modified)
Does there exist a number k for which
min{ (x_i -x_j)^2 | i>j } ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}.
for any real numbers x_1, x_2, …, x_n ?
If so, determine the smallest such k(n).
Answer
左辺を μ^2 とおく(μ≧0)。
x_1≧x_2≧…≧x_n と並べなおすと、
|x_i - x_j| ≧ |i-j|μ, (1≦|i-j|≦n-1)
省9
974(1): 2007/05/04(金)20:43 AAS
>971
[Problem 273]
△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、次を示せ。
cos(A)/{sin(A)^2} + cos(B)/{sin(B)^2} + cos(C)/{sin(C)^2} ≧ R/r ≧2.
等号成立は正3角形のとき。
（Source: 2000 Beijing Math. Contest)
Answer:
・左側は、辺で表わす。
S = (ab/2)sin(C) = (bc/2)sin(A) = (ca/2)sin(B) = abc/4R より
(左辺) = (bc/2S)^2･cos(A) + (ca/2S)^2･cos(B) + (ab/2S)^2･cos(C)
省15
975(1): 2007/05/05(土)22:02 AAS
>972
[3241]
a,b,c は実数で、a^2 +b^2 +c^2 =9 とするとき、次を示せ。
3･min{a,b,c} ≦ 1 + abc.
等号成立は min=-1, others=2 のとき.
Answer.
min{a,b,c} = c としても一般性を失わない。cを固定して(a,b)平面で考える。
題意より、円周 a^2 +b^2 = 9-c^2 のうち a≧c, b≧c の部分を考える。
〔補題〕
a,b ≧c≧0 のとき ab ≧ c√(a^2 +b^2 -c^2) = c√(9-2c^2).
省15
976: 2007/05/05(土)22:18 AAS
>973
Σ[n≧i>j≧1] と書くべきか?
>974
a,b,c は△ABCの辺の長さ、Sはその面積でつ。
>975
cが最小のとき、-3≦c≦√3 を使いますた。
いつもｽﾏｿ.
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