[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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206: 2012/07/07(土)18:11 AAS
>>188
n-m=1 の場合
{1+(x/m^2)} / {1+(x/n^2)} = 1 + (1/m^2 - 1/n^2)x/[1+(x/n^2)],
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
ところで n-m=1, x<n^2 から
m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1/n^2,
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
省1
207(1): 2012/07/07(土)18:29 AAS
>>205
不等式素人だから教えてほしいんだけれど、
「xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。」ていうのって一つのセオリーみたいなものなの？
208: 205 2012/07/07(土)19:27 AAS
>>207
小生も不等式は素人なので分かりませんが、「小手技」はあるみたいです。
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
209(3): 2012/07/12(木)13:03 AAS
For positive real numbers a_2, a_3,..., a_n with a_2a_3・・・a_n=1.
Prove that :
(a_2+1)^2(a_3+1)^3・・・(a_n+1)^n≧ n^{n}.
210: 2012/07/13(金)06:45 AAS
AA省
211: 2012/07/14(土)02:20 AAS
( ﾟ∀ﾟ)つ a_k>0 に対して、1 + a_1 + … + a_n < (1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n) < e^(a_1 + … + a_n)
212(1): 2012/07/14(土)04:49 AAS
>>209 の改良
ラグランジュの未定乗数法で極小をさがす。
a_k = λ/(k-λ), (k=2,･･･,n)
(与式) = Π[k=2,n] {k/(k-λ)}^k,
・n=3 のとき、
λ = 6/5, a_2 = 3/2, a_3 = 2/3,
(与式) ≧ 3125/108 = 28.935185･････ > 27 = 3^3
・n=4 のとき
a_k = λ/(k-λ),
λ = {9 + [6*SQRT(11901)-81]^(1/3) - [6*SQRT(11901)+81]^(1/3)}/6
省2
213: 2012/07/14(土)22:09 AAS
>>195
(3) r＝p/q≧1, y1＝x1^q, y2＝x2^q,…≧0 として
(y1＋y2＋…)^r≧y1^r＋y2^r＋… を示す。
y1＋y2＋…＝1 の制約条件で y1^r＋y2^r＋… の最大値を求める問題にすると
ラグランジュの未定乗数法で
L＝y1^r＋y2^r＋…−λ(y1＋y2＋…−1) の最大は
∂L/∂y1＝r y1^(r−1)−λ＝0 ∴ y1^(r−1)＝y2^(r−1)＝…＝λ/r
∴ y1＝y2＝…＝1/n
y1^r＋y2^r＋…＝n(1/n)^r＝1/n^(r−1)≦1＝1^r＝(y1＋y2＋…)^r
214(1): 2012/07/15(日)07:27 AAS
>>209 の改良
L = Σ[k=2,n] {k･log(a_k + 1) - λ･log(a_k)},
∂L/∂a_k = k/(a_k + 1) - λ/(a_k) = 0 より
a_k = λ/(k-λ),
(2-λ)(3-λ)･････(n-λ) = λ^(n-1), ････ 決定方程式
・n=5 のとき
(2-λ)(3-λ)(4-λ)(5-λ) = λ^4,
λ = {71 + [(42√1749261)-13411]^(1/3) - [(42√1749261)+13411]^(1/3)｝/42
= 1.54263254839049
(左辺) = 7407.43642129488 > 3125 = 5^5,
省1
215: 2012/07/15(日)09:52 AAS
>>212 >>214
決定方程式（特性方程式）
・n=3 のとき
λ^2 -(λ-2)(λ-3) = 5λ - 6,
・n=4 のとき
λ^3 +(λ-2)(λ-3)(λ-4)
= 2λ^3 -9λ^2 +26λ -24
= {(2λ-3)^3 + 25(2λ-3) + 6}/4,
・n=5 のとき
λ^4 - (λ-2)(λ-3)(λ-4)(λ-5)
省2
216(1): 馬鹿を焼く描写 ◆ghclfYsc82 [age] 2012/07/16(月)20:08 AAS
勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。
省6
217: 2012/07/16(月)23:08 AAS
>>199-200
a,b は次の根。
1557376x^7 -3114752x^6 +2369920x^5 -838304x^4 +132066x^3 -7273x^2 +466x -94 = 0
218(4): 2012/07/17(火)07:14 AAS
AA省
219(4): 2012/07/18(水)07:24 AAS
>>218
a,b,c>0 a+b+c=s のとき、
(a+b)^2/{(a+b)s/3+c^2} + (b+c)^2/{(b+c)s/3+a^2} + (c+a)^2/{(c+a)s/3+b^2} ≧ 2*2,
(略証)
{(a+b)s/3 + c^2} + {(b+c)s/3 + a^2} + {(c+a)s/3 + b^2}
= {(s-c)s/3 + c^2} + {(s-a)s/3 + a^2} + {(s-b)s/3 + b^2}
= s^2 + {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2
≧ s^2,
これとコーシーで････
220: 2012/07/18(水)17:32 AAS
うむ
221: 219 2012/07/19(木)03:59 AAS
AA省
222: 219 2012/07/19(木)04:07 AAS
AA省
223: 2012/07/22(日)08:03 AAS
>>219
(左辺)
= (a+b)^2／{(a+b)s/3 + c^2} + (b+c)^2／{(b+c)s/3 + a^2} + (c+a)^2／{(c+a)s/3 + b^2}
= 3(s-c)^2／(ss-cs+3cc) + 3(s-a)^2／(ss-as+3aa) + 3(s-b)^2／(ss-bs+3bb)
= g(c/s) + g(a/s) + g(b/s),
ここに、g(x) = 3(1-x)^2／(1-x+3xx) とおいた。
g(1/3) = 4/3, g(1/2) = 0.6
x=1/3 における接線:
g(x) - g(1/3) + (16/3)(x - 1/3) = (16x-1)(x - 1/3)^2／(1-x+3xx),
g(x) > (4/3) - (16/3)(x - 1/3), (x>1/16)
省12
224: 2012/07/22(日)17:46 AAS
>>218
abc=1 だから、s=a+b+c≧3,
これと〔補題〕 >>219 から簡単に･･･
225: 2012/07/22(日)20:51 AAS
神あらわるあらわる
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