[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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795: 2012/10/30(火)23:31 AAS
>>760
３３. For a>0 b>0 c>0 prove that: {(a^3+b^3+c^3+6)/(ab+bc+ca)}{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c} ≧ 9.
(1) a^3 +1 +1 ≧ 3a, b^3 +1 +1 ≧ 3b, c^3 +1 +1 ≧ 3c, (相加･相乗平均)
(2) (b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c ≧ a+b+c,
∵ コーシー あるいは
abc･{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c -(a+b+c)} = (b^3)c + (c^3)a + (a^3)b - abc･(a+b+c)
= (1/7)Σ[cyclic] {4(b^3)c + (c^3)a + 2(a^3)b - 7a(b^2)c} ≧ 0, （相加･相乗平均)
(3) (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
以上から出る。
省10
796: 2012/10/31(水)00:04 AAS
AA省
797(2): 2012/11/01(木)03:50 AAS
AA省
798: 2012/11/01(木)03:55 AAS
AA省
799: 2012/11/01(木)03:57 AAS
AA省
800(1): 2012/11/01(木)04:47 AAS
>>794
７７. For a>0 b>0 c>0 d>0 with a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =4. Prove that:
(a+b+c+d-2)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/2) ≧ 9.
>>136 >>273-277 を参照。
８０. Let a>0 b>0 c>0 with abc=G^3. Prove that:
a^3 +b^3 +c^3 +6abc ≧ G(a+b+c)^2.
>>18-19 >>42 >>253 >>268-269 も見てね。
801: 2012/11/01(木)05:10 AAS
>>800
さすが神！ いつもながら乙の極みでござるよ
802: 2012/11/01(木)13:46 AAS
きめえ
803: 2012/11/01(木)17:04 AAS
またお前か
804: 2012/11/01(木)18:05 AAS
いい加減にしろ！
荒らし報告するぞ
805: あのこうちやんは始皇帝だった [shikoutei@chine.co.jp] 2012/11/01(木)19:12 AAS
２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
806: 2012/11/02(金)00:21 AAS
AA省
807: 2012/11/03(土)00:36 AAS
AA省
808: 2012/11/03(土)02:14 AAS
>>762
５３. Prove that:
a(a+b)^3 + b(b+c)^3 + c(c+a)^3 ≧ (2/3)^3･(a+b+c)^4.
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2 より
(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 +c^2 +(7ab-22bc+11ca)/4}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
または
(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 -c^2 +(113ab-131bc+46ca)/28}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
[第５章.494、 504]
５５. For a>0 b>0 c>0 d>0 prove that:
1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/(4G),
省14
809: 2012/11/03(土)02:41 AAS
>>791
６４. Let a>0 b>0 c>0 such that abc=1. Prove that:
(a+3)/(a+1)^2 + (b+3)/(b+1)^2 + (c+3)/(c+1)^2 ≧ 3,
(a+3)/(a+1)^2 = 1/(a+1) + 2/(a+1)^2, etc.
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u),
1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 = {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
よって
(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
省5
810: 2012/11/03(土)03:00 AAS
>>793
７３. Given a>0 b>0 c>0. Prove that:
a^4 + b^4 + c^4 + 33G^4 ≧ 12(ab+bc+ca)G^2,
where G=(abcd)^(1/4).
[第5章.699,723-726]
７４. Let a>0 b>0 c>0. Prove that:
a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1.
[第5章.698, 708]
７６. Given a≧0, b≧0, c≧0, d≧0. Prove that:
a/(a^3 +8) + b/(b^3 +8) + c/(c^3 +8) + d/(d^3 +8) ≦ (4/9)(s/4)^(2/3),
省8
811: 2012/11/03(土)03:16 AAS
５１. 訂正ｽﾏｿ.
(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G^2 -1)
７３. 訂正ｽﾏｿ.
where G=(abc)^(1/3).
今日はこの辺で。
812: 2012/11/03(土)23:15 AAS
AA省
813: 2012/11/04(日)00:39 AAS
AA省
814(1): 2012/11/04(日)02:59 AAS
AA省
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