[過去ﾛｸﾞ] 集合論について (615ﾚｽ)
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241(1): 2014/04/11(金)22:24 AAS
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる
集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
242: [0] 2014/04/12(土)07:59 AAS
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか？それとももっとレベルが高いですか？
243: 2014/04/12(土)08:33 AAS
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。
244(1): 2014/04/12(土)09:08 AAS
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･
245: 2014/04/12(土)09:57 AAS
位相もちゃんとやれよ
246: 2014/04/12(土)12:19 AAS
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？
247: 2014/04/14(月)00:34 AAS
しかし研究対象がそもそもsubtleに出来ているのなら
それをそのままsubtleに（霊妙に、とでも訳せば良いのか）理解しないといけない。
Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。
248(4): 2014/04/14(月)07:56 AAS
>>237
根拠となったのは、以下の主張です。
ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。
こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。
省2
249: 2014/04/14(月)17:37 AAS
様相論理って面白いんですか？
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど
250: 2014/04/14(月)20:18 AAS
体系に番号や記号もそれぞれ振られているし整理はそれなりにされてると思う。。
ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
（証明可能性、義務、知識、信念、……）があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。
251: 2014/04/14(月)21:07 AAS
>>248
ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの？あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね？
252: 2014/04/14(月)21:26 AAS
＞ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
違うような。
ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで〜〜が成り立つ。よってZF |- 〜〜」
を示す時にACを使うのは（あまり）問題が無い。
問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。
253: 2014/04/14(月)22:05 AAS
数か月考えてみるわ
254: 2014/04/23(水)10:24 AAS
V=L |- CH は、まあそうだろなと思うが、V=L |- ACの方は、なんでこの二つが
関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう？
255: [age] 2014/04/23(水)14:16 AAS
AA省
256(1): 2014/04/23(水)21:38 AAS
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。
257: 2014/04/24(木)13:53 AAS
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？
258: 2014/04/24(木)19:55 AAS
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。
←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。
259(1): 2014/04/24(木)20:52 AAS
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？
260: 2014/04/24(木)21:02 AAS
>>259
整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が？
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