[過去ﾛｸﾞ]
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
上
下
前
次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索
歴削→次ｽﾚ
栞削→次ｽﾚ
過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
708: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/27(日) 16:26:59.89 ID:NetfQ0ow >>388 (5) >>450 〔Hlawkaの不等式〕を拡張… r≧1 のとき K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r, ここに K(r）は 1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)}, 2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2), kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2 >>449 (2) 佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67 (1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。 AM-GMする。 >>453 佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61 x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy, (AM-GM）より x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx, (x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/708
709: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/27(日) 20:32:51.97 ID:u/VQjdir >>689 > 〔補題196〕の略証 > (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b) この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/709
710: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/27(日) 23:16:42.54 ID:NetfQ0ow >>709 その通り。 （a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。 他に使えそうな方法は無いか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/710
711: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 00:00:38.32 ID:4VsD2YTN >>708 解答も訂正。 >>453 チェビシェフ（または AM-GM）で a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u, (ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu, 辺々たす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/711
712: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 01:54:30.17 ID:4VsD2YTN >>679 (5) a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1. (a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z), (左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3 =（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3 =｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3 = F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s ≧0, （s=x+y+z≧3) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/712
713: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 03:43:27.12 ID:Xt3/xWpv (1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2) (2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 AOPS：https://artofproblemsolving.com/community/c6h1282022p6753168 [疑問１] (1)の証明について、 (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0 ∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A) >>687 〔補題196〕 の右側 (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B) (A),(B)から、 (a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2) 等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。 このやり方は、何か間違っているのかな？ A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、 A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？ （具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある） [疑問２] (2)の証明が分かりませぬ…。 (1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」 と書いてあるけど、ピンときませぬ…。 (a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/713
714: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:21:36.55 ID:Xt3/xWpv >>689 Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/714
715: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:30:48.05 ID:Xt3/xWpv >>688-689 > (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc) > > bはa、cの間にあるとする。 > (左辺)-(右辺） > = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b) > = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2, > > P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0, > P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0, > R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0, > ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m) Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、 P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca} となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/715
716: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 06:52:45.91 ID:Xt3/xWpv >>715 ごめん。私の計算違いでした。 ﾍ）)∧ （ﾟ ∀ﾟ ） ノ || ｙ / ヽ 切腹しまつ ━(m二フ⊂[__ノ､ （＿（＿＿ノ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/716
717: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 11:53:15.27 ID:4VsD2YTN >>712 の訂正 × (x-y-z) ○ (x+y+z) >>713 [疑問1] (1）は >>679 (2）ですね。 >>687 を参照。 あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。 [疑問2] >>687 を参照。 (2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。 >>714 そうです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/717
718: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 21:24:09.98 ID:fpou6rxt >>713 (1) A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然 [疑問1] A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件 (2) 因数分解が一番簡単 [疑問2] uvw で右側の不等式は明らか (おそらく AoPS での解き方はこれ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/718
719: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 22:03:31.85 ID:Xt3/xWpv >>718 なんと！ 因数分解できるとは… (a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2 UVW-method って、これのことですか？ https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/719
720: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/28(月) 22:42:48.32 ID:sqcQ/xXt >>719 それだよ wikiがあったんだ aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/720
721: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 01:52:29.92 ID:QmBHjFut a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/721
722: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 03:10:07.75 ID:QmBHjFut >>69 (1)、>>713 (1) > a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2) > a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2 + b^2 + c^2) 改造手術の時間でござるよ。 右辺の大小は定まるのでせうか？ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) 81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2) だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) と 3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。 (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2) 適当にやっても、うまく行かんでござる… ..::::::,､_,､::: ::::: ::: : /ﾖﾐﾞヽ)-､. :: :::: ─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/722
723: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 03:22:58.97 ID:QmBHjFut a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。 （曲者 = a/b + b/c + c/a） (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0 ∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t これしか思いつきませぬ…。 他にないでござるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/723
724: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 03:49:39.64 ID:1JAWO9sa >>721 A + 4H =（A/2) +（A/2）+ 4H ≧ 3(AAH)^(1/3) （← AM-GM) = 3{(s/3)(s/3)(3u/t)}^(1/3) ≧ 3u^(1/3) （← ss≧3t) = 3G （← Sierpinski) を使うのが簡単かと... A + 3H > （2/3)(A+4H）≧ 2G >｛5/16^(1/3)} G http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/724
725: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 04:41:59.71 ID:QmBHjFut >>721、>>724 出典を再発見。 （大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる） https://math.stackexchange.com/questions/1806146/prove-fracxyz3-frac3-frac1x-frac1y-frac1z-geq5-sqrt3-fracxyz?noredirect=1&lq=1 斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`) >>724 分かりやすい！ でも、この方法では等号がつかないですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/725
726: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 05:25:02.43 ID:QmBHjFut >>721、>>724 ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。 正しくは、 「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」 でした。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/726
727: １３２人目の素数さん [sage] 2017/08/29(火) 05:44:11.14 ID:QmBHjFut >>721 再掲 a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)} >>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。 A + H ＝（A/2) +（A/2）+ H ≧ 3(AAH/4)^(1/3) …(1) ＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3) ≧ 3{(u/4)}^(1/3) …(2) = 3G/{4^(1/3)} (1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、 A+H > 3G/{4^(1/3)} 問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/727
上
下
前
次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
あと 275 ﾚｽあります
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.010s