[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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62(2): 2017/07/13(木)00:58 ID:oVTfqBd/(1/6) AAS
>>60
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgピコーンの等式

>>61
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgオノの不等式

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67: 2017/07/13(木)03:52 ID:oVTfqBd/(2/6) AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.

(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 　　　　(←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。
省10

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68: 2017/07/13(木)04:08 ID:oVTfqBd/(3/6) AAS
>>66 上

a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
　= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
　≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）

* Ravi変換とかいうらしい。

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73(1): 2017/07/13(木)17:42 ID:oVTfqBd/(4/6) AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,

>>72

B.3987
　中の b+c に注目する。
　（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
　≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
省8

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74: 2017/07/13(木)17:54 ID:oVTfqBd/(5/6) AAS
>>73 訂正

B.3989
　cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。

(別解)
　a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様

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75: 2017/07/13(木)18:37 ID:oVTfqBd/(6/6) AAS
>>72

A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
　　= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
　　≦ n (SS - SS/n)}
　　= (n-1) SS,

(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
省2

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