[過去ﾛｸﾞ] ０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
485(2): 2017/12/04(月)19:54 ID:1tdLd2Kk(7/8) AAS
X上の演算として「β」を使う場合、s は (X,β) の中でゼロの役割をするのだから、
「 X の中に 0 が存在しているように見える」。また、X上の演算として「α」を使う場合、
s は (X,α) の中でゼロの役割をしないのだから、「 X の中に 0 が存在しないように見える」。
これらのことから、X上の演算として「β」を使うことを予め決めている場合、
s のことを最初から「 0 」という記号で表記することが多い。また、X上の演算として
「α」を使うことを予め決めている場合、s のことを最初から「 1 」という記号で表記することが多い
(αのときに「 1 」という記号を使うのは、αの更なる性質が起因しているのだが、ここでは深入りしない)。
s のことを予め 0 と書いた場合、ペアノシステムは (X, 0, f) と書かれるのだから、
「 X に 0 を含めているように見える」。また、 s のことを予め 1 と書いた場合、
ペアノシステムは (X, 1, f) と書かれるのだから、「 X に 0 を含めて無いように見える」。
省6
486(2): 2017/12/04(月)19:59 ID:1tdLd2Kk(8/8) AAS
つまり、
「自然数に 0 を含めるか否かは流儀の違いに過ぎない」
という文章は、
「ペアノシステム (X, s, f) が与えられたとき、何かしらの特別な 0 という元を
X の中に放り込んだり抜き取ったりするのは、流儀の違いに過ぎない」
という意味なのでは無くて、
省4
487: 2017/12/04(月)20:04 ID:rHg4Gkbk(1) AAS
その説明は以前も試みた人がいたが通じなかった
「定義する」という行為をどうしても理解できないみたい
488: 2017/12/05(火)13:44 ID:iVaTXYxi(1/4) AAS
何だよ、５ちゃんねるって？
間違えてscに書き込んじまったじゃないか。
489(1): 再録 2017/12/05(火)13:45 ID:iVaTXYxi(2/4) AAS
>>482
その定義だと、自然数にゼロは無いということになりそうだが、、、
群構造が無いからね。しかし、ある元の名称として「０」を
自然数に含めても、特に支障は無いと思う。
群の単位元は、０よりむしろ１で表すことのほうが多いから、
乗法の存在を前提とせずに「ゼロとは、アーベル群の単位元」
と定義してしまうのは、問題がありそう。
490(2): 再録 2017/12/05(火)13:46 ID:iVaTXYxi(3/4) AAS
>>484
何を指して「ペアノシステム」と呼んでるのかにもよるが、
もともとのペアノ公理系は、自然数の順序構造しか表しておらず、
整数の代数構造の部分集合としての自然数を記述してない。
後者写像は、自然数の集合NからNへの任意の全単射fについて
x→(f^-1)(f(x)+1) で構わないから、後者が+1だというのは
一例としてそう解釈することもできるという話でしかない。
491: 2017/12/05(火)14:11 ID:05fOeb+L(1) AAS
「なにもしない」には少なくとも数学では二種類あるのが暗黙の了解だからねえ。
492(1): 2017/12/05(火)15:55 ID:M1q+8D4F(1/8) AAS
>>489
今までの文脈を理解してないように見える。
＞その定義だと、自然数にゼロは無いということになりそうだが、、、
無論、ペアノの公理系だけでは、自然数の中に「0」も「1」も無い。
あるのは後者関数によって定まる構造だけ。しかし、例のガイジは
「自然数に 0 は無いが、1 は確実にある」
「ここでの自然数とは、ペアノの公理系を満たす集合のこと」
と主張しているのである。つまり、ペアノの公理系だけから、
「 0 は無いけど 1 はある」と主張しているのでる。そこが問題なのである。
そういうガイジに、
省10
493: 2017/12/05(火)16:04 ID:M1q+8D4F(2/8) AAS
>>490
＞もともとのペアノ公理系は、自然数の順序構造しか表しておらず、
＞整数の代数構造の部分集合としての自然数を記述してない。
ほぼ同じことが>>482-486に書いてある。
ペアノシステム (X, s, f) では基本的な代数構造すら記述されてないので、
演算αや演算βによって、s がゼロの役割をしたりしなかったりする
(α,βともに、システムに沿った形の自然な「加法」の演算であるにも関わらず)。
すなわち、s がゼロの役割をするか否かは、
ペアンの公理系だけでは全く指定が無い、と述べている。
494(1): 2017/12/05(火)16:13 ID:M1q+8D4F(3/8) AAS
>>490
＞ x→(f^-1)(f(x)+1) で構わないから、後者が+1だというのは
＞ 一例としてそう解釈することもできるという話でしかない。
それは認識の仕方が不自然ではないか？君が言っているのは、
「代数構造も含めた整数が予め与えられているとして、その部分集合としての自然数を N とするとき、
ある後者関数 f：N → N が存在して、N の中に予め定義されている「＋」と「1」を拝借しても
f(n)＝n＋1 とは表せない形の後者関数 f が存在する」
ということに過ぎない。一方で、一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「α」に対して
f(n) ＝ n α s (n∈X)
省6
495: 2017/12/05(火)16:24 ID:M1q+8D4F(4/8) AAS
ちなみに、>>494については、>>483の演算「β」を使ってもよい。
一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「β」に対して
f(n) ＝ n β f(s) (n∈X)
が成り立つ。βは (X, s, f) の中で自然に「加法」を表現していると考えられるし、
s は (X, β) の中でゼロの役割をして、f(s) は (X, β) の中でイチの役割をするので、
βを「 ＋'' 」と表記し、s を「 0'' 」と表記し、f(s) を「 1'' 」と表記することにすれば
f(n) ＝ n ＋'' 1'' (n∈X)
省7
496: 2017/12/05(火)16:29 ID:M1q+8D4F(5/8) AAS
わかると思うけど、最後の一文を訂正ｗ
× やはり本津的に
〇 やはり本質的に
497(2): 2017/12/05(火)19:00 ID:iVaTXYxi(4/4) AAS
その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
自然だとかいう議論と同種のものに見える。
ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
また別のものだろう。
498: 2017/12/05(火)19:05 ID:1r0ZlPp3(1) AAS
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。
もしも他のやり方でNに加法を定義してZの部分にできるなら、説得力もあるんだけどね…
499(1): 2017/12/05(火)19:58 ID:TR02AlES(1) AAS
中学では０が自然数でないと言う人と同じで、
一度教わったことを一歩ひいて眺めるのは
数学を学んだ人でも難しいのだなあ。
整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
「ペアノシステム」だと教わってしまうと、
後者を＋１とすることが技巧ではなく
本質に見えてしまうらしい。
500: 2017/12/05(火)20:01 ID:M1q+8D4F(6/8) AAS
>>497
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。
俺は、αもβも自然な加法の演算だと言っているが、N が 0 を含む方が自然とは
言ってないし、含まない方が自然とも言っていない。また、例のガイジですら、
そういう話はしていない。俺が言っているのは、
「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」
省12
501: 2017/12/05(火)20:14 ID:M1q+8D4F(7/8) AAS
>>497
＞ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
＞自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
＞また別のものだろう。
加法を実装して整数へ拡張するのが目的なのではないし、
そもそも整数まで拡張していない(「半群」に抑えてある)。
半群としての加法を実装するときに、s がゼロの役割をするようにしたいのか、
そうでないようにしたいのか、という話をしている。
すると、ゼロの役割をするようにもできるし、そうでないようにもできる。
ゆえに、例のガイジが言っているような、
省8
502: 2017/12/05(火)20:24 ID:M1q+8D4F(8/8) AAS
>>499
＞整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
＞「ペアノシステム」だと教わってしまうと、
そんな教わり方をしている奴は、このスレには存在しない。
ペアノシステムの定義は >>483 に書いた。
この定義に、整数環や有理数体の構成は出現しない。
ゆえに、ペアノシステムと、整数環や有理数隊の構成は無関係。
無関係であるがゆえに、ペアノの公理系だけでは、自然数に 0 も 1 も出現しない。
ゼロやイチといった概念は、代数的な演算とセットで定義される概念だからだ。
しかし、例のガイジにこの正論は通用しない。
省5
503: 2017/12/06(水)09:48 ID:EYGSXoHu(1) AAS
結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
そんな主観が入る問題はもう数学の領域じゃない
哲学で存分にやってくれれば有難い
504: 2017/12/06(水)11:49 ID:v/fQWWR6(1) AAS
＞結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
それはない
流石に国語辞典の話をしてるやつは一人もいない
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 498 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.014s