スレタイ箱入り無数目を語る部屋18

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910: １３２人目の素数さん [] 2024/06/03(月) 14:42:34.69 ID:bVC2pEwy

>>909
弥勒菩薩様、アホな基礎論ババアをお救いください！
>>903
・まず、(下記)コンパクト性定理の言い方"任意の有限部分集合がxx" この言い方は慣用句として覚えるべし
・コンパクト性定理は、筑波大 坪井にあるとおりで"４色定理と無限地図"や"順序集合"(無限集合への拡張)に応用を持つ
・コンパクト性定理の応用の一つとして、確率変数独立の定義に当てはめれば、これぞまさに 確率変数が無限集合の場合の定義
(そもそも"任意の有限部分集合がxx"という言い回しが、有限集合に留まらないことはピンとこないと)

(参考)
//ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
ある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理

//www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito 坪井 筑波大
//www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋
//www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II
2.2 コンパクト性定理
2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
2.5.2 順序集合
2.2 コンパクト性定理
Lは引き続き言語とする．またTはL-閉論理式の集合を表す．
完全性定理の系として次の定理が得られる：
定理53 (コンパクト性定理). Tを閉論理式の集合とする．このとき次は同値である：
1.Tはモデルを持つ
2.Tの任意の有限部分集合T0はモデルを持つ．
証明. 1→ 2は自明である．
2→ 1の対偶を示す．Tがモデルを持たないとする．
このとき，完全性定理により，Tから（論理の形式的体系を用いて）矛盾が証明できる．
証明の長さは有限なので，証明に使われるの論理式は有限個しかない．その使われる部分をT0⊂Tとすれば，T0から矛盾が出る．
よってT0はモデルを持ち得ない．

2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にならないように塗り分けられる
実はこの４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性定理を使うと簡単に分かる．
(略)
Tがモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，Tの各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．
しかし，それは有限地図(有限グラフ) に対する４色定理から明らかである．

2.5.2 順序集合
定理70. (A,<)を順序集合とする．このとき，<を拡大したA上の全順序<*が存在する．
注意 71. 上の2項関係<*で，
条件(i)<⊂<*，(ii) (A,<*)は全順序集合，を満たすものが存在するという意味である．
定理70の証明.
(中略)
各有限部分は，ステップ１によりモデルを持つ．したがって，コンパクト性によりT全体がモデルMを持つ．a∈AとCa^Mを同一視すれば，集合としてA⊂Mである．このとき<*の解釈（のへの制限）が求める全順序になっている．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/910

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