[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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230: 01/13(月)12:52 ID:2LyGh2G/(7/10) AAS
>>224
>その意味で、対角線論法は
>超重要キーワードってことです！（＾＾
君はその超重要な対角線論法をまったく理解できていないけどなｗ
可算選択公理が必要などと抜かす馬鹿は君以外いないだろう
231: 01/13(月)15:40 ID:TxxvswZ2(9/15) AAS
>>222
Rの非可算性＝RとNとの一対一対応が存在しない という意味なら
対角線論法で証明でき、その場合、可算選択公理など全く必要ない
ただ
Rの非可算性＝RはNより大きい順序数と一対一対応する という意味なら
当然ながらRの整列可能性を主張するわけなので、例えば
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数の存在を認める
選択公理が必要である
（上記の関数があれば、Ｒから１つずつ要素を取り除くことによって
Ｒの整列を作ることが可能である
省1
232: 01/13(月)15:47 ID:TxxvswZ2(10/15) AAS
Ｒが整列不可能、ということは
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数なんて存在しない
ということ
まあ、一見驚きだが、よく考えてみれば
Ｒの全ての要素すらわからんのに、
さらにＲの全ての部分集合なんかわかりようもなく
そこから１つの要素を取りだすなんてのも見当がつかないので
まあ、なくても矛盾は導けないかもな、とは思う
233: 01/13(月)15:51 ID:TxxvswZ2(11/15) AAS
コーエンのフォーシングによる結果以降、
集合論からフィールズ賞が出ないのは
もっともと思えることもある
連続体仮説のような基本的な問題について決定不能というんじゃ
他のもっと込み入った問題でなんか結果が出たところで全然インパクトがない
いかなる学問分野でも、主要な問題で何等かの成果がでると
そのあと、いかほど難しい問題が解けても、だから何なの？
といわれてしまうように思う
234: 01/13(月)17:40 ID:2LyGh2G/(8/10) AAS
ところで雑談くん
>>177はお得意のスルー芸ですかな？
整列定理で実数の整列順序の具体化は可能なんでしょ？ 早く具体化してよ
235(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:14 ID:xSRlEtRO(9/17) AAS
戻る
>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
省7
236(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:15 ID:xSRlEtRO(10/17) AAS
つづき
Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3, 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
省25
237: 01/13(月)18:41 ID:2LyGh2G/(9/10) AAS
>>235
>戻る
未練がましい
いくらコピペを重ねても「ZFで実数は存在しない」なる間違いが正しくなることは無い
238: 01/13(月)18:58 ID:TxxvswZ2(12/15) AAS
ところでXが可算集合だとして、
もし選択公理による整列定理の方法でXを整列する場合、
選択公理を可算選択公理にしたら不可能
なぜならば、Xの空でない部分集合の全体が可算集合でなく非可算集合だから
まあ、実際にはXが可算であるとわかっているならば
ωとの一対一対応を使えば整列できる
（Xが可算であると示す、つまりωとの一対一対応を示すのに
可算選択公理を使うことはあるかもしれんが
Xが非可算であるとする場合には、ωとの一対一対応があると前提して
そこから矛盾を導くのだから、ωとの一対一対応の存在を証明できるわけもなく
省1
239(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:08 ID:xSRlEtRO(11/17) AAS
>>235-236より
1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
省14
240: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:09 ID:xSRlEtRO(12/17) AAS
つづき
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Separable_space
Separable space
In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence
{xn}n=1〜∞ of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence.
Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間
数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞〜n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
省4
241: 01/13(月)19:14 ID:TxxvswZ2(13/15) AAS
集合論研究者に絶対ヤな顔される集合論総括
カントール：無限集合の概念を考案 実数全体が集合となることを示し 連続体仮説を提案
ツェルメロ：集合論の公理を考案 選択公理によっていかなる集合も整列可能であることを示す
ゲーデル ：構成可能集合によるモデルを考案 選択公理の相対無矛盾性を証明
コーエン ：強制法（フォーシング）を考案 連続体の濃度が決定不能であることを示す
また 選択公理を偽とする集合論の相対無矛盾性を証明
要するに
「実数全体を考え、もっともらしい前提によって整列可能であることは示せ
しかも、もっともらしい前提の無矛盾性を示せたが
一方 実数の濃度は決定できず、それどころか実数が整列不能だとしても
省2
242(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:40 ID:xSRlEtRO(13/17) AAS
>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)
1）リンデレフ空間 までしか言えてない ；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
とあって、
省11
243: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:41 ID:xSRlEtRO(14/17) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Compact space
（google訳）
数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性はユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。[ 1 ]コンパクト空間には「穴」や「欠けている端点」がなく、すべての点の極限値が含まれているという考え方である。例えば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数の空間Qは
コンパクトではない。なぜなら、無理数に対応する「穴」が無限にあり、実数空間Rは
2つの極限値+∞ 、−∞を除外しているため、コンパクトではありません。
しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトになります。
この経験的概念を正確にする方法は多数あります。
これらの方法は通常、計量空間では一致しますが、他の位相空間では同等ではない場合があります
省12
244(1): 01/13(月)20:10 ID:TxxvswZ2(14/15) AAS
>Rだと、Compact space なのだが・・
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ ﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!
245(1): 01/13(月)20:19 ID:TxxvswZ2(15/15) AAS
Rがコンパクト空間とか嘘八百ほざくサル初めてみたわ
さすが工学部卒のニホンザル
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ ﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!
246(1): 01/13(月)22:11 ID:ZZe3wroh(1) AAS
>Rだと、Compact space なのだが・・
読点が入っていて、しかもCompactが大文字で
始まっているので
Rがコンパクトであるという主張を述べているようには思えない。
247(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:48 ID:xSRlEtRO(15/17) AAS
>>244-246
ふっふ、ほっほ
>>255 より再録
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)
戻るよ
省7
248: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:51 ID:xSRlEtRO(16/17) AAS
>>247 タイポ訂正
>>255 より再録
↓
>>225 より再録
249: 01/13(月)23:47 ID:2LyGh2G/(10/10) AAS
>>247
>>229
コピペザルは字も読めないのかい？
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