[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)

不等式への招待 第５章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/

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47: １３２人目の素数さん [] 2010/12/30(木) 19:09:27 [問題] A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。 このとき、次の不等式を示せ。 　　�農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ �農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2 また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/47

48: １３２人目の素数さん [] 2010/12/30(木) 19:13:47 >>47 この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、 不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/48

49: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/03(月) 02:32:47 〔問題961〕 自然数nに対して、 　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。 　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965 　casphy - 高校数学 −修羅の刻−【難問】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/49

50: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/06(木) 23:40:15 a、b、c、dを正の定数とする。 不等式 s(1-a)-tb>>0 -sc＋t(1-d)>>0 を同時に満たす正の数s、tがあるとき、 2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/50

51: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/09(日) 06:31:06 >>50 　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。 　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0, より、異なる2つの実数解をもつ。 　f((a+d)/2) = −(1/4)(a-d)^2 -bc < 0, また、題意より 　0 < a,d < 1, 　1-a > (t/s)b > 0, 　1-d > (s/t)c > 0, ∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0, 　　f(a+d-1) = f(1) > 0, ∴　２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/51

52: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/09(日) 14:17:45 http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf P352など 　二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ! `‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣　／⌒ｼ′） 二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ ‐ニ| i＜　 ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　 　 http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 二‐ヽ ┘ ｜ 　 　 lヾ. } } / /リ ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　Problem352などを見ると・・・・・ '　　/ 　 /　　 　 '"　` `ﾞ /　ｿ 　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　 　なんていうか･･････その･･･ 　 ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　 　 　＿＼ 　 　ヽ._>┘　　　　　　　　 下品なんですが･･････フフ･････ 　／了＼＿ノ 　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　 勃起･･････しちゃいましてね･････････ 　門｜ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/52

53: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 11:49:13 >>52 〔Problem 352.〕 a,b,c>>0, abc≧1　のとき　 　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2, 　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による) 　 Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/53

54: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 11:53:48 >>53 　abc =k とおく。 　(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c) 　　　　= F(a) + F(b) + F(c), ここに 　F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x), 　F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0,　 (単調増加) 　F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0,　(下に凸) よって 　(左辺) > 3F((a+b+c)/3)　　　(← Fは下に凸) 　　　　> 3F(k^(1/3)) 　　　　(← 相加･相乗平均) 　　　　= 3(√k)／{√k + k^(1/6)} 　　　　> 3/2,　　　　　　　　　　　　(← k≧1) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/54

55: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/10(月) 12:16:29 〔Problem 357.〕 正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。 　ad = bc, 　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2, 〔Problem 359.〕 次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。 　x+y+z ≧ 3, 　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2), 　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による) http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 　Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/55

56: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/11(火) 21:32:52 >>55 P.359. 　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1), 等号成立は x=1 のとき。 ∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0, ∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/56

57: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/12(水) 21:00:00 １＜ｍ＜ｎ。 ０≦ａ。 ｂ＝（ｎ−ｍ）ａ／（ｎ−１）。 ｃ＝（ｍ−１）ａ／（ｎ−１）。 ａ＝ｂ＋ｃ。 ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。 ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。 　（ｘ＋ｎ（１−ｘ））（ｘ＋（１−ｘ）／ｎ）＾２ ＝（２ｎ−２（ｎ−１）ｘ）（１＋（ｎ−１）ｘ）＾２／２ｎ＾２ ≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２ ＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/57

58: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 00:12:11 >>57 〔問題〕 nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、 　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。 hint: 　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/58

59: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 05:00:00 １≦ｉ≦ｎ。 （ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。 ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。 １／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２ ＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/59

60: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 05:00:00 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/60

61: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 08:21:59 >>57-58　出題元： http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368 数オリスレ２０ http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311 初等整数論の問題２ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/61

62: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 22:52:05 x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/62

63: １３２人目の素数さん [] 2011/01/18(火) 23:01:47 >>62 成り立たねーぞボケ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/63

64: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 01:21:33 >>63 ﾆﾔﾆﾔ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/64

65: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 02:34:17 x^p+y^p-(x+y)^p x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p =x^p*(1+t^p-(1+t)^p) >>0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/65

66: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 02:41:07 もっとエレガントに解かんかい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/66

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