[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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115: 2024/11/24(日)20:17 ID:pyyDnAPQ(1/2) AAS
ホイヨ
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/32/1/32_1_3/_pdf/-char/ja
Vol. 32 No. 1 科学基礎論研究 2004
数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学
田中一之* 東北大学大学院理学研究科
1 はじめに
数学基礎論は,数学を展開するためにどのような公
理系が十分かという問題について,19世紀末くらいか
ら数多くの成果を築いてきた。しかし,数学全般を基
礎付けるような完全な公理系が存在しないことを
省27
116: 2024/11/24(日)20:17 ID:pyyDnAPQ(2/2) AAS
つづき
2 Hilbertのプログラム
Hilbertは,数学の論証のほとんどが第1階論理
(first-order logic)において形式化できること,そし
て数学の諸概念は自然数と簡単な集合の概念に還元で
きることに着目し,自然数とその集合を扱う第1階理
論(もしくは,自然数の第2階理論)の性質(とくに
無矛盾性〉を明らかにすれぼ,数学のかなりの部分の
明晰性が得られると考えた。そして,そのような公理
系として2階算術の体系Z2を考案し,また,有限個の
省23
117(1): 2024/11/25(月)05:38 ID:rk5D/jaH(1) AAS
板随一レベル？な良スレの悪寒
118: 2024/11/26(火)15:50 ID:EX3LL1Rn(1/2) AAS
>>117
なるほど
検索："反基礎論" 数学
ヒットしたので貼ります。
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron/43/1-2/43_KJ00010256963/_pdf
【論文】科学基礎論研究Vol．43，（2016 ） 17 〜30
『科学基礎論研究』に見られる「形式主義観」 八杉 滿利子＊
＊京都産業大学名誉教授
1． はじめに
科学基礎論学会設立の頃からしばらくの間、日本に
省46
119: 2024/11/26(火)15:51 ID:EX3LL1Rn(2/2) AAS
つづき
11 ． おわりに
「科学基礎論研究』の60年間の歴史において、数学
に関しては、初期のころは
“数学の基礎づけ”が各研究
者によって個人の問題として引き受けられていた。そ
の思考は非常に内省的なものであり、人間の認識に関
する諸問題のなかの数学に関する考察であったn その
意味では何世紀もの間哲学者たちの求めたものと類似
している。それらは数学に密着した、自分だけの想念
省19
120(1): 2024/11/28(木)21:04 ID:ayAWCwBy(1/4) AAS
スレ 背理法と対偶って違うの？
の54より 竹内外史 転載
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/28/2/28_2_55/_pdf
科学基礎論研究 2001
数学の回顧と展望
竹内外史*
P2
ラッセル(B. Russell)はカントールの集合についての
矛盾を分析して,矛盾に必要なギリギリの性質を取り
出してラッセルのパラドックスを作りました。これで
省22
121(1): 2024/11/28(木)21:05 ID:ayAWCwBy(2/4) AAS
つづき
P3
ここでは私見を一つ述べます。次のことは別に私のオリ
ジナルという考えではなくて,大かれ少なかれ似た様
なことを殆どの人が思っていると思います。しかし何
故か皆ハッキリとそれを口外することをためらってい
る様に思います。私はそれをハッキリと主張して,そ
れについて考え発展させることが大切だと思います。
私は集合論の矛盾は本当の矛盾でないと思います。
集合論の矛盾は,集合全体を一つの固定した集合とす
省38
122: 2024/11/28(木)23:19 ID:ayAWCwBy(3/4) AAS
竹内外史先生で、下記も大事な部分ですね
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/28/2/28_2_55/_pdf
科学基礎論研究 2001
数学の回顧と展望
竹内外史*
P2
model theoryは数学的構造についての理論です。
シェラー(S. Shelah)はcomplete theoryのモデルを
complete theoryをいくつかのカテゴリーに分け,そ
のカテゴリー毎に,そのtheoryに属するモデルの構造
省40
123: 2024/11/28(木)23:41 ID:ayAWCwBy(4/4) AAS
竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』（及び 清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』）
”層・圏・トポス”：ZFCではない世界
これは、21世紀には 常識ですね
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
数理論理学との関わり
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合とその元に関する論理式解釈となる。群、可換群、環などの数学的（特に代数的）構造の公理を論理式によって表現したとき、景 (C, J) 上のグロタンディーク・トポスにおいてその論理式を満たすような対象が (C, J) 上の群、可換群、環などの層になる。局所環の層などについての局所的な条件も、全称量化子を用いた論理式によって自然に表現される。
一方、適切な景 (P, J) をポール・コーエンによる強制法 (forcing) の議論をなぞって構成し、その上の層の圏として連続体仮説が成立しないような集合論のモデルを得ることができる。同様にして選択公理が成り立たないような集合論のモデルもある景の上の層の圏として実現できる。こうして構成される集合論のモデルのうちには排中律が成り立たないような直観主義的モデルも自然に現れる。
歴史
グロタンディークはスキームとトポスとを同じ年に見いだしたと『収穫とまいた種と』で回想している。実際にグロタンディーク・トポスの一般論が整備されたのはSGA IVでの彼自身による発表の中でだった。その後ウィリアム・ローヴェアが集合論のモデルとしての可能性を見いだし、強制法との関連、ドリーニュの定理のとらえ直しなど記号論的な認識が深められたが、グロタンディークの隠遁後に彼に近い学者がトポスの理論に貢献しなかったことは彼と他の数学者たちとの間の確執の一因になった。またリジッド幾何やSynthetic Differential Geometryなど「位相構造」より繊細な「微分構造」をトポスを通じて考える幾何学も得られている。
省3
124(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/29(金)14:41 ID:v+dxUrg+(1) AAS
ラッセル 型理論
いまでは、プログラミングに取り入れられている
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
型理論
型理論（かたりろん、英: Type theory）とは、プログラミング・数学・言語学等に現れる型の概念及びそれらが成す型システムを研究対象とする数学・計算機科学の分野である。特定の型システムのことを型理論と呼ぶこともある。集合論の代替となる数学の基礎として役立てられる型理論（型システム）も存在する。そのような例としてアロンゾ・チャーチの型付きラムダ計算やマルティン・レーフの直観主義型理論が有名である。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Type theory
Some type theories serve as alternatives to set theory as a foundation of mathematics. Two influential type theories that have been proposed as foundations are:
・Typed λ-calculus of Alonzo Church
・Intuitionistic type theory of Per Martin-Löf
省12
125: 2024/11/29(金)17:18 ID:yDJAgAYM(1) AAS
>>124
数学も分からずプログラムも書けない●●がドヤ顔で型理論を語る
126(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/30(土)15:24 ID:9Sqq12HI(1/4) AAS
>>120-121 より
(引用開始)
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/28/2/28_2_55/_pdf
科学基礎論研究 2001
数学の回顧と展望
竹内外史*
ここでは私見を一つ述べます。次のことは別に私のオリ
ジナルという考えではなくて,大かれ少なかれ似た様
なことを殆どの人が思っていると思います。しかし何
故か皆ハッキリとそれを口外することをためらってい
省27
127(1): 2024/11/30(土)17:15 ID:C4igDd/w(1) AAS
>>126
そもそもZFCがファイナルアンサーだと思ってるのは
●違いなHNをコテハンで●違いなコピペを繰り返す奴だけ
ついでにいえば、圏は集合を超えるためのものではない
これまた●違いな素人の●違いな思い込み
128(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/30(土)18:46 ID:9Sqq12HI(2/4) AAS
>>127
>そもそもZFCがファイナルアンサーだと思ってるのは
>●違いなHNをコテハンで●違いなコピペを繰り返す奴だけ
>ついでにいえば、圏は集合を超えるためのものではない
最初の”ZFCがファイナルアンサーだと思ってる”については
下記 渕野氏 『加藤文元さんの 「原理的にはZFCの言葉に全部置き換えることができるという信念の下に数学者は仕事をしていると思うのですが…」という発言』（2016年）
な、百回音読してね ；ｐ）
次の”圏は集合を超えるためのものではない”
かもしらんが、実際には 下記の『圏論的な〈ものの見方・考え方〉入門』西郷甲矢人 著 · 2021
の通りで、”物理だけでなく，認知. 科学や哲学といった，数学とは一見遠い分野の考え. 方をつなぐ新しい言葉としても，最近は圏論が少し. 知られるように”とある通り
省13
129: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/30(土)20:41 ID:9Sqq12HI(3/4) AAS
>>128 追加
ほいよ
”圏論とグロタンディークの数学的世界”
ameblo.jp/taira-anjo/entry-12827501254.html
榊原平のブログ―安城·愛知から世界に学ぶ
圏論とグロタンディークの数学的世界
2023年11月05日(日)
圏論とグロタンディークの数学的世界
こんにちは、数学に興味のある皆さん。今回は、圏論という数学の分野と、その分野に革命を起こした数学者グロタンディークについて紹介したいと思います。圏論とグロタンディックの数学的世界は、私たちが普段見慣れた集合や関数とは異なる、より一般的で抽象的な概念で満たされています。しかし、その中には美しさや深さが隠されており、数学の様々な分野に影響を与えています。それでは、一緒に圏論とグロタンディークの数学的世界を探検してみましょう。
圏論とは何か
省17
130: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/30(土)22:00 ID:9Sqq12HI(4/4) AAS
>>1
>なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
>公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
下記 youtu.be
"大学数学は厳密であるほど良い←誤解です（ブルバキの功罪）"
これが、一つの見方で
かつ 重要な見方です
(参考)
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
大学数学は厳密であるほど良い←誤解です（ブルバキの功罪）
省17
131(1): 2024/11/30(土)23:35 ID:ej924G6t(1) AAS
公理系のとりかたなどが歴史的事情に依存したものであるとすれば、
人類がいったん亡びて再び地球上を支配する知的生物が登場した場合に
彼らの数学の体系はかなり今の人類のものとは異なるかもしれないし、
あるいは地球外に知的生命体が数学的な学問を有していたならば、
それもまた、異質のものかもしれない。
132: 2024/12/01(日)00:11 ID:akzgVyU5(1/5) AAS
>>131
それは面白いね
が、逆に共通部分も多くあるかも
例えば、昔フェルマーが未解決のころ
地球より進んだ文明の宇宙人と遭遇したときのネタに
フェルマー予想 x^n+y^n＝z^n を提示したらどうかというもの
宇宙人は、フェルマー予想を初等的に解いているかもしれないねｗ ；ｐ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フェルマーの最終定理
エピソード
省6
133(1): 2024/12/01(日)04:38 ID:pbejRoZd(1) AAS
そもそも公理と無定義概念が、地球人類のものと、対等かどうかさえ定かではない。
自然科学ならともかく。
134: 2024/12/01(日)07:27 ID:akzgVyU5(2/5) AAS
>>128 蛇足
>・たとえば彼の言っている「数学者」には集合論の研究者は含まれていないと思います． まあ，Saharon の名前を聞いたこともない人が集合論でどんな種類の 「数学」がなされているか全く気がついていない，というのはある意味自然な話ではあるのでしょうが．
Saharon→Saharon Shelah, サハロン・シェラハ, ”日本では「シェラー」あるいは「シェラーハ」と表記されることもある”(下記)
日本では、単に「シェラハ」と記される場合が多い
Saharonは、少ない。「シェラハ」は聞いたことがあるが、”Saharon”？ だれ？ という人が居そう
そこを言っているのでしょう
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
サハロン・シェラハ
サハロン・シェラハ（ヘブライ語名：שהרן שלח、英語名: Saharon Shelah, 1945年7月3日 - ）は、イスラエルの数学者、論理学者。エルサレム出身。日本では「シェラー」あるいは「シェラーハ」と表記されることもある。
専門は数理論理学、とくにモデル論および公理的集合論。その他にブール代数や実関数論、集合論的位相空間論に関する仕事もある。
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