[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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528: 01/23(木)13:08 ID:L43wzm6S(2/3) AAS
>>526
>いま 選択公理だけで・・・定義できれば
アウト
529(1): 01/23(木)13:09 ID:WqZeyyqf(1/4) AAS
選択公理を適用するための集合族を構成するのだから、
Aが可算のとき可算選択公理で並べられるというなら
まず可算選択公理”なしに”A∖{aξ∣ξ<α} が定義できなくてはいけない
530(1): 01/23(木)13:10 ID:WqZeyyqf(2/4) AAS
ちなみにJechはAが可算のとき可算選択公理で
なんて下らんこといってないから
Aの空でない部分集合全体の族が定義できればOK
531(1): 01/23(木)13:14 ID:WqZeyyqf(3/4) AAS
>順序数 ξ<α の (超限帰納法)で、
>『超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる
> たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を
> {f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある』
その説明は正しいよ
でも、上記とは関係なく
選択公理に適用する集合族を定義するのに
選択公理を適用した結果、存在が導かれるfを使ったら
循環論法だよね
532(1): 01/23(木)13:18 ID:WqZeyyqf(4/4) AAS
>繰り返すが
>選択公理だけで(超限帰納法) に持ち込めば
繰り返すが
選択公理使わずに(超限帰納法) に持ち込まないと
循環論法
533(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:43 ID:OWxAi42s(3/12) AAS
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/
>>521 >>529-532
>選択公理から整列定理が導けるが、可算選択公理から”可算整列定理”が導けるなんて誰もいってない
ふっふ、ほっほ
さあ、徹底的にやろうな！！ｗｗｗ ；ｐ）
そこは>>480 に整理したよ。百回音読してね
>>480より
”可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
省16
534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:43 ID:OWxAi42s(4/12) AAS
つづき
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
DCはツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]
他の公理との関連
省18
535: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:44 ID:OWxAi42s(5/12) AAS
つづき
de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbares_Auswahlaxiom
独語（google英訳）
Countable Axiom of Choice
Of course, for certain (possibly uncountable) sets of nonempty sets, a selection function can also be specified without the (countable) selection axiom, e.g.
・when the cut ∩A is not empty, because then there is a constant selection function,
・if the association ∪A well-ordered , because then the smallest element in terms of well-ordering can be taken from any set, and
・if it is a family of intervals of real numbers, because then the midpoint of each interval can be taken.
On the other hand, even for a countable family of two-element sets, the existence of a selection function cannot be proven in ZF.
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
省7
536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:44 ID:OWxAi42s(6/12) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,< (a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、
これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
集合の濃度と基数
省20
537: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:45 ID:OWxAi42s(7/12) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
Theorem — (Assuming the axiom of countable choice)
The union of countably many countable sets is countable.[f]
We need the axiom of countable choice to index all the sets
a,b,c,… simultaneously.
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第13章 整列集合
省12
538(1): 01/23(木)13:52 ID:/DO4V5tt(2/2) AAS
>>533
間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
539: 01/23(木)13:54 ID:L43wzm6S(3/3) AAS
>徹底的にやろうな
A∖{aξ∣ξ<α}＝A∖{f(A∖{aψ∣ψ<ξ})∣ξ<α} で、もう君、●んでる
ご愁傷様
540: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:12 ID:OWxAi42s(8/12) AAS
追加参考
順序数の算術 藤田博司 愛媛大
外部ﾘﾝｸ:www.sci.shizuoka.ac.jp
数学基礎論サマースクール
選択公理と連続体仮説 2019年9月3日
世話人：依岡輝幸（静岡大学理学部数学科
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sci.shizuoka.ac.jp
集合・濃度・順序数・基数
藤田博司 愛媛大学理学部
2019 年9月3日
省3
541(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:34 ID:OWxAi42s(9/12) AAS
>>538
>間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
ふっふ、ほっほ
>>533より
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
おれは、
自分が何をどこまで理解しているかを
示そうとしては いない！ｗｗ
省12
542: 01/23(木)14:47 ID:CiN7ebJS(2/2) AAS
> おれは、自分が何をどこまで理解しているかを示そうとしては いない！
理解してないもんな
君の書き込みは図らずも、君が
> 基礎論のそのまた基礎が全く理解できていないこと
を自ら示してしまっている
自己処刑 自己アナグマ
543: 01/23(木)14:54 ID:DqlpJduC(1) AAS
選択公理
∀X[∅∉X⟹∃f:X→⋃(A∈X)A ∀A∈X(f(A)∈A)]
ここで、Xの各要素を定義するのにf使ったらダメにきまってるだろ
こんなもん論理のイロハのイ
544(2): 01/23(木)16:23 ID:F2cs9bbp(1/3) AAS
>>318
>いい証明ができたら、教えてくれ
いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
Xを集合とする。
Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。
写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。
Cを順序数全体のクラスとする。
写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。
いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。
gの定義より ¬(φ(A)∈g(λ+1)) だから ¬(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={}
省5
545(2): 01/23(木)16:32 ID:F2cs9bbp(2/3) AAS
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
546: 01/23(木)18:09 ID:o+VGPX9a(4/4) AAS
>>544
>いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
時間があったら読んでみる
>>545
結局順序数の中に上限が存在しないならそれは集合ではない
ということかと勝手に思ってるが、正解かどうかはJechに聞いてくれ
547(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:26 ID:OWxAi42s(10/12) AAS
>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
省24
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