[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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219: 01/13(月)10:02 ID:TxxvswZ2(7/15) AAS
>>218
> おサルさんさ
おサルさんは君
> 可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になる
対角線論法に、可算選択公理は全く必要ないけど
> 必死に 可算選択公理を否定することもない
誰も可算選択公理を否定してない 肯定もしてないが
無関係だから肯定しようが否定しようが結果は同じ
わかる？おサルさん
220: 01/13(月)10:04 ID:TxxvswZ2(8/15) AAS
>>218
>『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、
> 無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
対角線論法では全く使ってないけどな
何を勝手に妄想してるのかな？
大学数学が全く分からんおサルさん
221(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:24 ID:xSRlEtRO(4/17) AAS
>>214
うん
有名な資料で、旧ガロアすれでも取り上げたが
下記の ”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
”自己言及と対角線論法”
”停止性問題”
”対角線論法から不動点へ”
ここらが、重要キーワードだな （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省13
222(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:44 ID:xSRlEtRO(5/17) AAS
>>221
>”自己言及と対角線論法”
対角線論法より以前に、カントールの最初の実数の非可算を証明した話が下記にある
しかし、繰り返すが >>218『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
ので、下記で 可算選択公理の役割は、定かではない（多分使っていると推測しています）
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
（google訳）
実数
省13
223: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:44 ID:xSRlEtRO(6/17) AAS
つづき
カントールの不可算定理の証明[見せる]
カントルは彼の不可算定理を述べるだけで、いかなる証明にもそれを使用していない。[ 3 ]
The proofs
First theorem
略す
Second theorem
略す
Cantor's 1879 uncountability proof
Everywhere dense
省11
224(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:51 ID:xSRlEtRO(7/17) AAS
>>221-222 補足
”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
の受け売りだが
”自己言及と対角線論法”などにあるように
対角線論法は、集合論の 実数の非可算を越えて
いろんな分野で、使われるようになった
その意味で、対角線論法は
超重要キーワードってことです！（＾＾
225(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:58 ID:xSRlEtRO(8/17) AAS
>>100
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)
戻るよ
・可算選択公理や、従属選択公理 なしで
有理コーシー列は出来る
省4
226(1): 01/13(月)12:07 ID:2LyGh2G/(3/10) AAS
>>207
>・この場合において、中央[1/3,2/3)の有理数の全てを含む部分で
> 自然数Nとの一対一対応が 通常の ＜ では うまくいかない
Q∩TとNとの一対一対応を取る必要がまったく無い。よって反論になってない。
繰り返すが、Tの元を余す事無く並べ切れてないことが言えればよいのだから並べ方は任意でよい。
227: 01/13(月)12:11 ID:2LyGh2G/(4/10) AAS
>>216
>並べ方に、自由度があることは認めるが
>しかし、完全な任意ではない！
完全に任意
>そのことを、>>207で示した！！ｗ
示せてないことを>>226で示した
>この主張は、>>203に例示のように 対角線論法で冒頭
>有限個の元の整列 s1,s2,・・ を具体的に書き下すことの
>数学的な根拠を与える定理で、トリビアな定理だが
無意味
228: 01/13(月)12:31 ID:2LyGh2G/(5/10) AAS
>>218
>可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ
複雑になるだけでなく、余計な前提が必要になるから間違い
>そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ
道理を理解できない馬鹿が頑なに間違いを認めないだけの話
>>『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
>それだけの話なのだからｗ ；ｐ）
「それだけ」が謎だが、選択公理の必要性が認識される前の時代の話を持ち出したところで君の間違いが正当化されることは無い。
229(1): 01/13(月)12:47 ID:2LyGh2G/(6/10) AAS
>>225
「ZFで実数は存在しない」
という君の主張が間違いであることは認めるの？
>それ以上、何か言えますか？ｗ ；ｐ）
愚問
選択公理の必要性は命題ごとの個別論。
230: 01/13(月)12:52 ID:2LyGh2G/(7/10) AAS
>>224
>その意味で、対角線論法は
>超重要キーワードってことです！（＾＾
君はその超重要な対角線論法をまったく理解できていないけどなｗ
可算選択公理が必要などと抜かす馬鹿は君以外いないだろう
231: 01/13(月)15:40 ID:TxxvswZ2(9/15) AAS
>>222
Rの非可算性＝RとNとの一対一対応が存在しない という意味なら
対角線論法で証明でき、その場合、可算選択公理など全く必要ない
ただ
Rの非可算性＝RはNより大きい順序数と一対一対応する という意味なら
当然ながらRの整列可能性を主張するわけなので、例えば
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数の存在を認める
選択公理が必要である
（上記の関数があれば、Ｒから１つずつ要素を取り除くことによって
Ｒの整列を作ることが可能である
省1
232: 01/13(月)15:47 ID:TxxvswZ2(10/15) AAS
Ｒが整列不可能、ということは
Ｒの全ての部分集合からその中の要素１つを選ぶ選択関数なんて存在しない
ということ
まあ、一見驚きだが、よく考えてみれば
Ｒの全ての要素すらわからんのに、
さらにＲの全ての部分集合なんかわかりようもなく
そこから１つの要素を取りだすなんてのも見当がつかないので
まあ、なくても矛盾は導けないかもな、とは思う
233: 01/13(月)15:51 ID:TxxvswZ2(11/15) AAS
コーエンのフォーシングによる結果以降、
集合論からフィールズ賞が出ないのは
もっともと思えることもある
連続体仮説のような基本的な問題について決定不能というんじゃ
他のもっと込み入った問題でなんか結果が出たところで全然インパクトがない
いかなる学問分野でも、主要な問題で何等かの成果がでると
そのあと、いかほど難しい問題が解けても、だから何なの？
といわれてしまうように思う
234: 01/13(月)17:40 ID:2LyGh2G/(8/10) AAS
ところで雑談くん
>>177はお得意のスルー芸ですかな？
整列定理で実数の整列順序の具体化は可能なんでしょ？ 早く具体化してよ
235(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:14 ID:xSRlEtRO(9/17) AAS
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>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
省7
236(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:15 ID:xSRlEtRO(10/17) AAS
つづき
Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3, 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
省25
237: 01/13(月)18:41 ID:2LyGh2G/(9/10) AAS
>>235
>戻る
未練がましい
いくらコピペを重ねても「ZFで実数は存在しない」なる間違いが正しくなることは無い
238: 01/13(月)18:58 ID:TxxvswZ2(12/15) AAS
ところでXが可算集合だとして、
もし選択公理による整列定理の方法でXを整列する場合、
選択公理を可算選択公理にしたら不可能
なぜならば、Xの空でない部分集合の全体が可算集合でなく非可算集合だから
まあ、実際にはXが可算であるとわかっているならば
ωとの一対一対応を使えば整列できる
（Xが可算であると示す、つまりωとの一対一対応を示すのに
可算選択公理を使うことはあるかもしれんが
Xが非可算であるとする場合には、ωとの一対一対応があると前提して
そこから矛盾を導くのだから、ωとの一対一対応の存在を証明できるわけもなく
省1
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