現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net

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210: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:28 ID:cqs+IUeE(29/34) AAS
つづき

今日見かけた『数学史』は、各『原論』に載っていた「歴史的覚書」をコンパイルしたもので、単なる「歴史的事実の寄せ集め」というものではなく、「数学的概念の発展史」とも言うべきもので、序に「大学一年程度の数学知識で読める」とは書いてあるものの、ちゃんと読もうとするとかなり手ごわい。
手ごわいがちゃんと読めば、ある数学的概念が、いつごろ萌芽として潜在的に発生し、それがいつごろ顕在化したのか、という生態がとてもよく分かり面白い。集合・論理や微積分など、高校で既習済みのところなんかは比較的読みやすいので、そういう分かりそうなところを拾い読みするだけでもパースペクティヴが拡がると思う。

つわけで、誰にでもオススメ、というわけではないけれども、何かの機会があったら手にとってパラパラめくってもいいんじゃないかな。ちなみに、ブルバキそのものについて書かれたものとして『ブルバキ―数学者たちの秘密結社』という本もあって、これも面白いです。

(引用終り)

211: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:39 ID:cqs+IUeE(30/34) AAS
>>208 関連

外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp
読書ノート　ニコラ・ブルバキ著　「数学史」上下　　ちくま学芸文庫 - ブログ　「ごまめの歯軋り」:2011年09月07日 | 書評
外部ﾘﾝｸ[html]:sendatakayuki.web.fc2.com
ニコラ・ブルバキ著　「数学史」　
　村田全・清水達雄・杉山光夫訳　ちくま学芸文庫　上・下　（2006年3月）
ユウクリッド「原論」からブルバキ「数学原論」にいたる数学史の構造主義的アプローチ
(抜粋)
ブルバキの旗印は「構造」であり、「形式論的経験主義」だといわれている。そしてこの「構造主義」は、当時の哲学と密接に関係し、その影響下にあったといわれる。

「構造主義」とは、狭義には1960年代に登場して発展していった20世紀の現代思想のひとつであり、広義には、現代思想から拡張されて、あらゆる現象に対して、その現象に潜在する構造を抽出し、その構造によって現象を理解し、場合によっては制御するための方法論を指す言葉である。
省6

212(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:40 ID:cqs+IUeE(31/34) AAS
つづき

本書の訳者である村田全氏は数学史には３つのアプローチがあると云う。ひとつは本書のような数学の中における自律の発展史という見方である。
第二に人類文化史や社会経済史、哲学史、自然科学史など全体の歴史の中のひとつの要素として数学の歴史を捉える見方である。第三に数学の中へ持ち込まれた他の影響を調べるアプローチもあるという。
いずれにせよ文化科学や社会科学においてそれぞれの歴史学が存在する（政治史、経済史、哲学史などなど）が、数学や自然科学には歴史という見方が稀薄である。これには自然科学は実学で現在でも立派に通用しているから、歴史的にしか存在しないものは乗越えられたという見方からきているようだ。
古代ギリシャの論証体系の確立に始まり、近代には記号論的演算力の切れ味が応用され、17世紀には科学革命の推進力となった。今日では圧倒的な数理科学にまで成長した。この数学の驚異的発展の恩恵は測り知れない。
ところが数学の発展はいつも実学の要求に応じて開発されたものかというと、全くそうではない。20世紀においても数学は理論数理物理学の欠かせない手段となったが、それが物理学が利用したまでの事であって、数学は自律的抽象化の道を歩んだにすぎない。
数学者の関心の的が「時代の子」として物理学に注がれることは事実だが、別にその請負仕事ではなかった。数学の歴史には20世紀を分かれ目として、19世紀的な輝かしい具体的数学と、20世紀的現代抽象数学がある。ブルバキは当然現代抽象数学の先端を行くものであろう。

つづく

213: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:41 ID:cqs+IUeE(32/34) AAS
つづき

数学基礎論

ブルバキは論理の形式化、数学における真理の概念、対象、モデル・構造、集合論、集合論の逆理と基礎の危機、超数学と論を進める。
ギリシャの論証法から、ルネッサンスから近世を経て、非ユークリッド幾何学、ヒルベルトの「幾何学基礎論」に到流れのなかで、数学的真理が経験の即しつつ形式化されてゆく過程を示している。数学構造論としては一番集合論が似合う。
ブルバキは論理の無矛盾性よりは、より構造的な決定（選択）のほうに重点が置かれている。ブルバキはユークリッドの数学の特質を次の3つに整理している。
①論理学の形式化を導いたのはいつも数学であった。
②ギリシャ公理論は経験的起源を持つ。
③ギリシャ数学の数学的存在の特質を作図可能性であると云う。
この見解に対して訳者の村田全氏はサボーの見解を引いて、エレア学派の哲学が上位に立つと反論しているが、ここにはその詳細は議論できない。
ユウクリッドの原論以来、自然数（正の整数）という段階的な対象に関する理論が論理と一番なじむが、連続的数は対象として論理となじまないようである。
省4

214: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:51 ID:cqs+IUeE(33/34) AAS
>>212 関連

>数学者の関心の的が「時代の子」として物理学に注がれることは事実だが、別にその請負仕事ではなかった。数学の歴史には20世紀を分かれ目として、19世紀的な輝かしい具体的数学と、20世紀的現代抽象数学がある。ブルバキは当然現代抽象数学の先端を行くものであろう。

ここ、まさにブルバキの時代はそうなのだが、20世紀末からは様変わり（下記）

>>103 受賞者記念講演録 | 京都賞:
物理と数学を巡る冒険
エドワード・ウィッテン
より

「ここでお話ししておかなければならないのは、17世紀、18世紀、それに19世紀の
大半でさえ、数学者は同時に物理学者でもあるのが普通だったのに、ところが20
世紀になると、数学と物理学という2 つの学問は別々の道を歩むようになったよ
省10

215(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/01(日)23:52 ID:cqs+IUeE(34/34) AAS
つづき

大栗>>69より
「１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。

今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。
場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。」
「もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。」

(引用終り)

216: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)00:04 ID:MUXssChK(1/59) AAS
>>199
>私達は同じ事をするために動かされている違いない(そして、代数トポロジーに関して何の種類のレポートを今日作ったのかと思う)。

原文（訳文だけでは分かり難い）
We should all be so moved to do the same. (And I wonder what kind of report on algebraic topology we would produce today.)

217(1): 2017/01/02(月)01:43 ID:HxlgBhaG(1/2) AAS
>>170
用語が正式かはともかくとして2つの数列が同値かどうかは二択でしょう
>>40
> 無限を扱うには，(2)有限の極限として間接に扱う，を実行してみよう
Δrの極限をとることで得られた無限数列は以下の(a), (b)のどちらなのですか？
(a) (s1-r1, s2-r2, ... , s(n-1)-r(n-1), 0, 0, 0, ... ) (シッポは全て0)
(b) (s1-r1, s2-r2, ... , s(n-1)-r(n-1), 1, 1, 1, ... ) (シッポは0でない)

参考までに
2chｽﾚ:math
> 同値類の定義からΔrの無限数列のシッポは全て0になることは確定しているから
省14

218(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:24 ID:MUXssChK(2/59) AAS
>>215 関連

外部ﾘﾝｸ:www.ted.com
セドリック・ヴィラニ: 数学の何がそれほど魅惑的なのか | TED Talk Subtitles and Transcript | TED.com: Posted Jun 2016
(抜粋)
0:11
フランス人が他の国民より巧みな事は何でしょう？そんな世論調査をしたならトップ３の答えは愛､ワイン､ワイニング（泣き言）

0:25
（笑）

0:26
かもしれませんがそれに加えてもう１つ提案すると数学ですパリ程数学者の多い街は世界中どこを捜してもありませんこれ程数学者にちなんだ名前の街路もありません統計からすると数学のノーベル賞とも言われ 40才以下の数学者に与えられるフィールズ賞の受賞者人口比はフランスが世界一です
省8

219: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:26 ID:MUXssChK(3/59) AAS
つづき

2:31
これはかの有名な釣り鐘形のガウス曲線? 誤差の法則? 平均的挙動に対する偏差を表したものですこの曲線は粒子の速度を人口統計が年齢分布を表すように統計で表したもので最も重要な曲線の１つですこれは幾度となく多くの理論や実験から現れる普遍的な一大真理として我々数学者にはとても大切なものです

3:08
ガウス曲線に関して有名な科学者フランシス・ゴルトンがこう言いました「ギリシャ人がこの法則を知っていたらこれを神格化していただろうこれは無秩序の最高法規だ」
この至高の女神を最もうまく具現化したのがゴルトンボードですこの中には狭いトンネルがありそれを通り小さなビー玉が右へ左へまた左へというようにランダムに落ちていきます完全に無秩序な混沌とした動きですこんな無秩序な軌道が共に何を起こすか見てみましょう

略

4:18
出ました無秩序の至高の女神ガウス曲線が『サンドマン』の主人公ドリームのようにこの透明の箱に閉じ込められていますここでは実験でお見せするだけですがこの曲線以外はあり得ない理由を私のクラスでは説明します至高の女神の神秘に触れ美しい偶然の一致が美しい論証に取って代わるのです
省3

220: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:27 ID:MUXssChK(4/59) AAS
つづき

5:18
数学者が我々の世界観を覆したのはこれが初めてではありません２千年以上前古代ギリシャの時代にはそのような事が既に起きていました当時世界のほんの一部しか探検されておらず地球は無限に広がっているかのようだったでしょう知恵者のエラストテネスは数学を使い僅か２％の誤差という驚く程の正確さで地球の周長を測ったのです

5:50
もう１つの例は 1673年にジャン・リシェがカイエンヌでは振り子の動きがパリより少し遅くなることに気がつきましたこの観察だけから数学を巧妙に使いニュートンは地球の両極がほんの少し平坦なことを正確に導き出しましたその扁平率は0.3%と僅かで地球全体を実際見たとしても気がつかない程でしょう

6:25
これらの例が示しているのは数学が我々に直観の世界を超えさせてくれ果てしなく見える地球の大きさを測定させ目には見えない原子や我々が五感で感知できないものを検知させてくれるということです
この私のトークから覚えておく事があるとしたならそれは１つ我々の直観を越えた所にある知覚では理解し難いものを数学は探索させてくれるということです

6:58
皆さんも経験している現代の例がこれですネットでの検索ですワールド・ワイド・ウェブ 10億を超えるページ全部調べ上げたいと思いますか？それだけの計算能力があればですがデータに潜む情報を見出すための数学モデルがなければ使い物にならないでしょう
省5

221: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:30 ID:MUXssChK(5/59) AAS
つづき

8:11
この場合は簡単ですがもし非常に多くの人が証言するとなったらどうします？またこのグラフは複雑な事件で証言する人々を表しているようですが相互にURLを参照し合うウェブサイトを表しているのでもありますこれではどのサイトが最も信頼できるのかあまりはっきりしません

8:39
ここで登場するのが「ページランク」 Google初期の主要機能の１つですこのアルゴリズムは数学的無秩序の法則を使って最も関連性の高いウェブサイトを自動的に決定しますこれはゴルトンボードの実験で見られた無秩序の法則と同じ原理です
ではこのグラフに小さなデジタル・ビー玉を送り込みバラバラに通してみましょうそれぞれサイトに到着し次から次にリンクを無秩序に通り抜けますどの玉もそうです玉が少しずつ積み上がりそれぞれのサイトの閲覧数? デジタル・ビー玉の数が記録されます

9:23
さあ行きますよ無秩序にバラバラと時々全く無秩序にジャンプを起こしてもっと面白くしましょう

9:33
ご覧下さいカオスの状態から解決法が生まれますビー玉の数が一番多いのは他のサイトに比べてリンクが多いサイトでありより多く参照されているサイトですこれでどれが最初に見てみたいウェブサイトかはっきりと分かります
省4

222: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:31 ID:MUXssChK(6/59) AAS
つづき

10:36
数学者は世界で最高の仕事です理由はその応用の幅広さですコミュニケーション理論情報理論ゲーム理論圧縮センシング機械学習グラフ解析調和解析に加え確率過程線形計画流体シミュレーションもありそれぞれ様々な産業界で大いに応用されています
これらを通して数学は大きな利益をもたらしますそして認めざるを得ないことは数学を使い富を得る事に関してはダントツで米国が世界一ですその象徴の才気ある億万長者や素晴らしい巨大企業は全て究極のところ良く出来たアルゴリズムに頼っているということです

11:28
これら全ての美しさ有用さと豊かさで数学はより一層魅惑的に見えるのですしかし数学者の研究生活が楽だなんて思わないで下さい解決までには当惑苛立たしさ理解に向けての絶望的な闘いで一杯なのです

11:50
私の数学者としての人生で最も印象深かったある日のことをお話ししましょう最も印象深い夜だったと言うべきかも知れません当時私はプリンストン高等研究所にいました
アルベルト・アインシュタインが何年も研究を続けた場所で数学の研究には世界で最も聖なる地だと言っても間違いがありません
その夜私は捕らえ所のない証明に取り組んでいてそれは不完全なままでしたこれは電子の集合体であるプラズマの矛盾する安定性に関するものでした
省3

223(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:33 ID:MUXssChK(7/59) AAS
つづき

12:53
この矛盾する現象は「ランダウ減衰」と呼ばれプラズマ物理における最も重要な事象の１つでその存在は数学で証明されましたとはいってもこの現象は完全には数学的に理解されていませんでした
かつての私の教え子であり主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に? その時パリにいたのですが? 何ヶ月もその証明に取り組んでいました
実は私は解けたと勘違いして公表してしまっていたのですが実際にはその証明は成り立っていなかったのです
百ページ以上の複雑な数学的論理多くの発見や膨大な計算にも拘らずうまく行きませんでした
プリンストンでのその夜は証明を構築する過程の論理がうまく繋がらなく気がどうかなりそうでしたエネルギーと経験そしてあらゆる手法を駆使していたのに何もうまく行きませんでした
夜中の１時２時３時になっても同じ状態でした４時頃になり落ち込んだまま就寝しその数時間後目覚め「子供たちを学校に連れて行く時間だ」とその時何だこれは？頭の中でこう言う声が確かに聞こえたのです「第２項目を式の反対側に持って行きフーリエ変換して L2空間で逆変換せよ」

略

14:21
省2

224(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:35 ID:MUXssChK(8/59) AAS
つづき

14:26
このように休息していたと思っていたのに実は私の脳は働き続けていたのですそんな時には野心も同僚の事も頭にはありません取り組んでいる問題と自分だけです

14:43
そうは言ったものの自分の辛苦が報われ昇進するのも悪くはないですねランダウ減衰の膨大な証明が完了してから私は幸運な事に最も切望されているフィールズ賞をインドの大統領の手からハイデラバードで 2010年の8月19日に頂きました数学者にとって夢の様な光栄です死ぬまでこの日を忘れないでしょう

15:13
どう思われますかその時の私の気持ちは？プライド？もちろんそれに加えこれを可能にしてくれた協力者の方々ヘの感謝の念です
これは人々と共同の冒険だったからです
共同研究者以外の人々とも共有すべき事なのです
誰でも数学研究のワクワク感を味わえその陰に潜む人々の情熱的な物語を共有出来ると信じています
省8

225(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:41 ID:MUXssChK(9/59) AAS
>>224 関連

外部ﾘﾝｸ:www.ambafrance-jp.org
フランスの数学大使、セドリック・ヴィラニが来日 - La France au Japon:在日フランス大使館更新日 30/05/2014
(抜粋)
フランスの天才数学者セドリック・ヴィラニさんが5月14日から16日まで、自著『定理が生まれる』日本語版刊行を記念して、フランス大使館と早川書房の招きで来日しました。
明治大学の会場を埋めた聴衆（2014年5月16日）

　フランス大使館と早川書房は5月中旬、『Theoreme vivant』の邦訳『定理が生まれる』の刊行を記念して、著者のセドリック・ヴィラニさんを日本に招待しました。

　若き天才数学者セドリック・ヴィラニさんは、航海日誌のようにつづられた著書の中で、フィールズ賞の受賞理由となった定理の誕生について語っています。10年以上の歳月をかけてボルツマン方程式に取り組んできたヴィラニさんは、もっぱら運動理論と最適輸送問題を研究しています。

　『定理が生まれる』のPRの一環として早川書房が企画した数多くのインタヴュー（5月18日付の日経新聞など）に応えたほか、そのたびに年齢層の異なる聴衆を前に3回の講演を行いました。
省5

226(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)07:58 ID:MUXssChK(10/59) AAS
>>225 関連

外部ﾘﾝｸ:mathsoc.jp
日本数学会・2010年度秋季総合分科会・総合講演と企画特別講演:９月２３日

外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
鵜飼正二(東工大) ボルツマン方程式の研究 --過去と未来-- 日本数学会・2010
概要ボルツマン方程式に関するこれまでの数学的研究を特に大域解の存在理論を中心に紹介するとともに，最近の発展が著しいいわゆるグラッドの切断近似を仮定しないボルツマン方程式の解の平滑化作用に関して，そのメカニズムを明らかにするとともに，未解決問題について概観する．
キーワードボルツマン方程式, グラッドのカットオフ近似, 大域解, 非カットオフポテンシャル, 準楕円性, 平滑化作用, Gevreyクラス, 不確定性原理
Abstract・ Video・ Presentation
(抜粋)
空間一様ボルツマン方程式
省15

227(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:32 ID:MUXssChK(11/59) AAS
>>226 関連

外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org

References
40↑ (en) Horng-Tzer Yau, ≪ The Work of Cedric Villani ≫, ICM Proceedings, Congres international des mathematiciens,? 2010 (lire en ligne [archive] [PDF]).

[archive]
(抜粋)
The Work of Cedric Villani
Horng-Tzer Yau
Department of Mathematics,
Harvard University
省2

228(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:33 ID:MUXssChK(12/59) AAS
つづき

1 Introduction
The starting point of Cedric Villani's work goes back to the introduction of entropy in the nineteenth century
by L. Carnot and R. Clausius. At the time, entropy was a vague concept and its rigorous definition had to
wait until the fundamental work of L. Boltzmann who introduced nonequilibrium statistical physics and the
famous H functional. Boltzmann's work, though a fundamental breakthrough, did not resolve the question
concerning the nature of entropy and time arrow; the debate on this central question continued for a century
until today. J. von Neumann, in recommending C. Shannon to use entropy for his uncertainty function,
quipped that entropy is a good name because ”nobody knows what entropy really is, so in a debate you will
always have the advantage".
省10

229(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:34 ID:MUXssChK(13/59) AAS
つづき

5 Conclusion
In Villani's work, we have seen not only rigorous mathematical analysis providing deep insights into physical
behavior, but also important new mathematics emerging from the study of natural phenomena, in the spirit
of Maxwell and Boltzmann. Besides his research articles, Villani has written extensive surveys and books
[48, 50, 49, 51], and, through these, as well as the insights of his work, he has inspired a generation of
young mathematicians with deep, rich, physically motivated mathematical questions. We are witnessing the
beginning of Villani's spectacular career and in
uence in shaping the directions of analysis and mathematics.

(引用終り)

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